Hai định nghĩa về giá trị p: làm thế nào để chứng minh tính tương đương của chúng?

Tôi đang đọc qua cuốn sách Tất cả các số liệu thống kê của Larry Wasserman và hiện tại về giá trị p (trang 187). Trước tiên tôi xin giới thiệu một số định nghĩa (tôi trích dẫn):

Định nghĩa 1 Hàm công suất của thử nghiệm với vùng loại bỏ được xác định bởi Kích thước của thử nghiệm được xác định là Một bài kiểm tra được cho là có mức \ alpha nếu kích thước của nó nhỏ hơn hoặc bằng \ alpha .$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Về cơ bản điều này nói rằng $\alpha$ , kích thước là xác suất "lớn nhất" của lỗi loại I. Giá trị $p$ sau đó được xác định thông qua (tôi trích dẫn)

Định nghĩa 2 Giả sử rằng với mọi $\alpha\in(0,1)$ chúng ta có một phép thử kích thước $\alpha$ với vùng loại bỏ $R_\alpha$ . Sau đó,

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ trong đó $X^n=(X_1,\dots,X_n)$ .

Đối với tôi điều này có nghĩa là: được cung cấp một \ alpha cụ thể, $\alpha$có một vùng thử nghiệm và loại bỏ $R_\alpha$ sao cho $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . Đối với giá trị $p$ tôi chỉ cần lấy giá trị nhỏ nhất trong số tất cả các $\alpha$ .

Câu hỏi 1 Nếu đây là trường hợp, thì rõ ràng tôi có thể chọn $\alpha = \epsilon$ cho tùy ý nhỏ $\epsilon$ . Giải thích sai của tôi về định nghĩa 2, nghĩa là nó chính xác nghĩa là gì?

Bây giờ Wasserman liên tục và nêu một định lý để có định nghĩa "tương đương" về giá trị $p$ mà tôi quen thuộc (tôi trích dẫn):

Định lý Giả sử kích thước test có dạng Sau đó, trong đó là giá trị quan sát của .chối  H $\alpha$ p -value = sup θ ∈ Θ 0 P θ ( T ( X n ) ≥ T ( x n ) ) x n X

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

Vì vậy, đây là câu hỏi thứ hai của tôi:

Câu hỏi 2 Làm thế nào tôi thực sự có thể chứng minh định lý này? Có thể đó là do sự hiểu lầm của tôi về định nghĩa của giá trị , nhưng tôi không thể tìm ra nó.$p$

Chúng tôi có một số dữ liệu đa biến , được rút ra từ một bản phân phối với một số tham số chưa biết . Lưu ý rằng là kết quả mẫu.D θ $x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Chúng tôi muốn kiểm tra một số giả thuyết về một tham số chưa biết , các giá trị của theo giả thuyết null nằm trong tập .q q $\theta$$\theta$$\theta_0$

Trong không gian của , chúng ta có thể xác định vùng loại bỏ và sức mạnh của vùng này sau đó được xác định là . Vì vậy, công suất được tính cho một giá trị cụ thể của là xác suất để kết quả mẫu nằm trong vùng loại bỏ khi giá trị của là . Rõ ràng sức mạnh phụ thuộc vào vùng và vào .R R P R ˉ q = P ˉ q ( x ∈ R ) ˉ q q x R q ˉ q R ˉ $X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

Định nghĩa 1 định nghĩa kích thước của vùng$R$ là tối cao của tất cả các giá trị của cho trong , do đó, chỉ dành cho các giá trị của dưới . Rõ ràng điều này phụ thuộc vào khu vực, vì vậy .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Vì phụ thuộc vào chúng ta có một giá trị khác khi vùng thay đổi và đây là cơ sở để xác định giá trị p: thay đổi vùng, nhưng theo cách mà giá trị quan sát mẫu vẫn thuộc về vùng, cho từng khu vực như vậy, tính toán như định nghĩa ở trên và lấy infimum: . Vì vậy, giá trị p là kích thước nhỏ nhất trong tất cả các vùng có chứa .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Định lý sau đó chỉ là một "bản dịch" của nó, cụ thể là trường hợp các vùng được xác định bằng cách sử dụng thống kê và với giá trị bạn xác định vùng là . Nếu bạn sử dụng loại vùng trong lý luận trên, thì định lý sau.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

EDIT vì ý kiến:

@ user8: cho định lý; nếu bạn định nghĩa các vùng loại bỏ như trong định lý, thì vùng loại bỏ kích thước là một tập hợp trông giống như cho một số .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Để tìm giá trị p của giá trị quan sát , tức là bạn phải tìm vùng nhỏ nhất , tức là giá trị lớn nhất của sao cho vẫn chứa , cái sau (vùng chứa ) tương đương (vì cách xác định vùng) để nói rằng , vì vậy bạn phải tìm lớn nhất sao cho$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Rõ ràng, lớn nhất sao cho phải là và sau đó supra đã đặt trở thành$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

Trong Định nghĩa 2, giá trị của thống kê kiểm tra là giới hạn dưới lớn nhất của tất cả sao cho giả thuyết bị từ chối để kiểm tra kích thước . Nhớ lại rằng nhỏ hơn chúng ta thực hiện , càng ít khoan dung đối với loại I lỗi chúng tôi đang cho phép, do đó từ chối khu vực cũng sẽ giảm. Vì vậy, (rất) nói không chính thức, các -giá trị là nhỏ nhất chúng ta có thể chọn mà vẫn cho phép chúng ta từ chối cho các dữ liệu mà chúng tôi quan sát. Chúng ta không thể tùy ý chọn một nhỏ hơn bởi vì tại một số điểm,$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ sẽ nhỏ đến mức nó sẽ loại trừ (nghĩa là không chứa) sự kiện chúng ta quan sát được.

Bây giờ, dưới ánh sáng của những điều trên, tôi mời bạn xem xét lại định lý.