Chứng minh sự kết hợp của các tệp PDF mang lại một bản PDF

Tôi đang vật lộn với một câu hỏi về sự tích chập của các tệp PDF, đặc biệt, chứng minh rằng đưa ra hai tệp PDF và , thì độ chập của chúng , cũng sẽ là một tệp PDF. Chứng minh không tiêu cực là dễ dàng nhưng tôi đang đấu tranh để chỉ ra rằng các tích phân có giá trị . Đây là bằng chứng của tôi cho đến nay: $f$ $g$ $f*g$ $1$

Lưu ý rằng tất cả các tích phân này được đánh giá qua thực tế.

\int (f * g) (x) d x = \iint f (y) g (x - y) d y d x

$\int (f*g)(x)\text{d}x = \iint f(y)g(x-y) \text{d}y \text{d}x$

Đặt $z = x-y$

\begin{aligned} \iint f (y) g (z) d y d z & = \int f (y) d y \int g (z) d z \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{align*} \iint f(y)g(z)\text{d}y\text{d}z&= \int f(y) \text{d}y \int g(z) \text{d}z\\ &= 1 \end{align*}$

Tôi có câu trả lời nhưng tôi tin rằng tôi đã có lỗi với việc thay đổi giới hạn thay thế khi tôi giới thiệu biến $z$ . Bât cư lơi khuyên nao cung se được đanh gia cao.

— Toán họcNonWhizz
nguồn

Bình đẳng đầu tiên của bạn đang thiếu một dấu hiệu tích hợp ở phía bên phải. Nên có hai.

— Paul

Không có gì sai về đạo hàm này: Jacobian bằng .

1

$1$

— Tây An

Làm thế nào bạn đi từ đến ?

z = x - y

$z=x-y$

d x = d z

$dx = dz$

— Alecos Papadopoulos

Bạn đang xem xét một kết quả cuối cùng chứ không phải là nơi kết hợp đến từ đâu. Bắt đầu từ một điểm trước đó làm cho bằng chứng dễ dàng hơn.

Nếu và là các biến ngẫu nhiên độc lập có mật độ và , thì Lưu ý rằng phía bên trái của đã giới hạn giá trị là $X$ $Y$ $f$ $g$

\begin{aligned} P {X + Y \leq z} & = = \int_{- \infty}^{\infty} P {X + Y \leq z | Y = = y} g (y) d y & luật tổng xác suất \\ = = \int_{- \infty}^{\infty} P {X \leq z - y | Y = = y} g (y) d y \\ = = \int_{- \infty}^{\infty} P {X \leq z - y} g (y) d y & sự độc lập của X và Y \\ (1) & P {X + Y \leq z} & = = \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{z - y} f (x) d x] g (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P\{X+Y \leq z\} &= \int_{-\infty}^\infty P\{X+Y \leq z \mid Y = y\}g(y)\,\mathrm dy & \scriptstyle{\text{law of total probability}}\\ &= \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq z-y \mid Y = y\}g(y)\,\mathrm dy\\ &=\int_{-\infty}^\infty P\{X \leq z-y\}g(y)\,\mathrm dy& \scriptstyle{\text{independence of}~X~\text{and}~Y}\\ P\{X+Y \leq z\} &=\int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^{z-y} f(x)\,\mathrm dx\right]g(y)\,\mathrm dy \tag{1} \end{align}$

(1)

$(1)$

1

$1$

z \to \infty

$z \to \infty$ ; trên thực tế, giá trị của điều đó không thể thiếu đôi bên phải là các CDF của biến ngẫu nhiên . Định lý cơ bản của Tính toán áp dụng cho cho chúng ta và vì vậy như bạn muốn chứng minh.

Z = X + Y

$Z = X+Y$

(1)

$(1)$

f_{X + Y} (z) = = \frac{d}{d z} P {X + Y \leq z} = = \int_{- \infty}^{\infty} f (z - y) g (y) d y = = f ⋆ g

$f_{X+Y}(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}P\{X+Y \leq z\} = \int_{-\infty}^\infty f(z-y)g(y)\,\mathrm dy = f\star g$

\int_{R} f ⋆ g = 1

$\displaystyle \int_{\mathbb R} f\star g = 1$

— Dilip Sarwate
nguồn

Từ cuốn sách! Bằng chứng rất tốt đẹp.

— Matthew Drury

Tôi thích ký hiệu ở đây , trước bài này.

— Carl