Giảm một biến ngẫu nhiên rời rạc?

9

Đặt là biến ngẫu nhiên rời rạc lấy các giá trị của nó trong . Tôi muốn giảm một nửa biến này, nghĩa là tìm một biến ngẫu nhiên chẳng hạn như: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

nơi $Y^*$ là một bản sao không phụ thuộc vào $Y$ .

Tôi đang đề cập đến quá trình này như một nửa ; đây là một thuật ngữ tạo thành. Có một thuật ngữ thích hợp được tìm thấy trong các tài liệu cho hoạt động này?
Theo tôi, như vậy $Y$ luôn tồn tại chỉ khi chúng ta chấp nhận xác suất âm. Tôi có đúng trong quan sát của tôi?
Có một khái niệm phù hợp tích cực nhất cho $Y$ ? Aka biến ngẫu nhiên sẽ là "gần nhất" để giải phương trình trên.

Cảm ơn!

random-variable

— Joannes Vermorel
nguồn

1

Trong trường hợp bạn không thể "giảm một nửa" chính xác, có nhiều định nghĩa có thể là "gần nhất"; nó phụ thuộc vào những gì bạn muốn tối ưu hóa.

— Glen_b -Reinstate Monica

10

Một khái niệm liên quan mạnh mẽ đến tài sản này (nếu yếu hơn) là khả năng phân tách . Một luật có thể phân tách là một phân phối xác suất có thể được biểu diễn dưới dạng phân phối của một tổng hai (hoặc nhiều hơn) các biến ngẫu nhiên độc lập không tầm thường. (Và một luật không thể chia không thể được viết như vậy. Các "hay hơn" chắc chắn là không thích hợp.) Một điều kiện cần và đủ để decomposability là hàm đặc trưng là sản phẩm của hai (hoặc nhiều) chức năng đặc trưng.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Tôi không biết liệu tài sản mà bạn xem xét đã có tên trong lý thuyết xác suất hay chưa, có thể được liên kết với tính phân chia vô hạn . Đây là một thuộc tính mạnh hơn nhiều của , nhưng bao gồm thuộc tính này: tất cả các rv chia hết vô hạn đều thỏa mãn phân rã này. $X$

Một điều kiện cần và đủ cho "tính phân chia chính" này là gốc của hàm đặc trưng lại là một hàm đặc trưng.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Trong trường hợp phân phối có hỗ trợ số nguyên, điều này hiếm khi xảy ra do hàm đặc trưng là đa thức trong . Chẳng hạn, một biến ngẫu nhiên Bernoulli không thể phân tách được. $\exp\{it\}$

Như đã chỉ ra trong trang Wikipedia về khả năng phân tách , cũng tồn tại các bản phân phối hoàn toàn liên tục không thể phân tách được, giống như phân phối có mật độ

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Trong trường hợp hàm đặc trưng của có giá trị thực, định lý Polya có thể được sử dụng: $X$

Định lý của Pólya. Nếu là hàm liên tục, có giá trị thực, thỏa mãn các điều kiện
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
thì là hàm đặc trưng của phân bố đối xứng hoàn toàn liên tục.

Thật vậy, trong trường hợp này, lại có giá trị thực. Do đó, một điều kiện đủ để chia hết chính là φ là gốc lồi. Nhưng nó chỉ áp dụng cho các phân phối đối xứng nên được sử dụng hạn chế hơn nhiều so với định lý của Böchner chẳng hạn. $\varphi^{1/2}$ $X$

— Tây An
nguồn

6

Có một số trường hợp đặc biệt trong đó điều này đúng, nhưng đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc tùy ý , "một nửa" của bạn là không thể.

Tổng của hai biến ngẫu nhiên Binomial độc lập là biến ngẫu nhiên Binomial và do đó, một Binomial có thể được "giảm một nửa". Bài tập: tìm hiểu xem một biến ngẫu nhiên Binomial có thể được "giảm một nửa" hay không. $(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
Tương tự, một biến ngẫu nhiên Binomial âm có thể được "giảm một nửa". $(2n,p)$
Tổng của hai biến ngẫu nhiên Poisson độc lập là Poisson ; ngược lại, một biến ngẫu nhiên Poisson là tổng của hai biến ngẫu nhiên Poisson . Thật vậy, như @ Xi'an chỉ ra trong một nhận xét, một biến ngẫu nhiên Poisson có thể được "giảm một nửa" bao nhiêu lần tùy thích: với mỗi số nguyên dương , đó là tổng của Poisson độc lập các biến ngẫu nhiên . $(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Dilip Sarwate
nguồn

2

+1 Hồi ức của tôi là đồng phục rời rạc là một trường hợp cụ thể không thể thực hiện được (tôi tin rằng có rất nhiều người khác, nhưng đó là cái tôi đã xem xét).

— Glen_b -Reinstate Monica

Thật vậy, một phân phối đồng đều có thể phân tách nhưng không chia hết theo nghĩa trên.

— Tây An

2

Phân phối Poisson là một ví dụ về phân phối chia vô hạn, do đó có thể được chia thành một tổng số lượng biến thiên iid tùy ý.

— Tây An

-1

Vấn đề đối với tôi là bạn yêu cầu một "bản sao độc lập", nếu không bạn có thể nhân với ? Thay vì viết bản sao (một bản sao luôn phụ thuộc), bạn có thể nên viết "hai biến ngẫu nhiên độc lập nhưng được phân phối giống hệt nhau". $\frac{1}{2}$

Để trả lời câu hỏi của bạn,

những gì đến gần nhất có thể là sự kết hợp hạn. Đối với cho , bạn đang tìm kiếm hai RV iid với chập . $X$ $X$
nếu bạn chấp nhận xác suất âm, đây không còn là biến ngẫu nhiên nữa, vì không còn không gian xác suất nữa. Có những trường hợp bạn có thể tìm thấy ( -Poisson-phân phối, , -Poisson phân phối) và các trường hợp không thể thực hiện được ( Bernoulli, ví dụ). $Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
Tôi chưa thấy gì, và tôi không thể tưởng tượng làm thế nào để chính thức hóa một sự phù hợp tốt nhất như vậy . Thông thường, các xấp xỉ cho các biến ngẫu nhiên được đo bằng một chỉ tiêu trên không gian của các biến ngẫu nhiên. Tôi không thể nghĩ gần đúng các biến ngẫu nhiên bằng hoặc biến không ngẫu nhiên.

Tôi hy vọng tôi có thể giúp đỡ.

— thảm
nguồn