Giá trị trung bình của một con súc sắc được chọn từ một loạt các cuộn vô hạn

13

Nếu tôi tung một cặp xúc xắc với số lần vô hạn và luôn chọn giá trị cao hơn của hai lần, thì giá trị trung bình dự kiến của các giá trị cao nhất có vượt quá 3,5 không?

Có vẻ như là vì nếu tôi tung một triệu con xúc xắc và chọn giá trị cao nhất mỗi lần, tỷ lệ cược áp đảo là sáu số sẽ có sẵn trong mỗi lần lăn. Do đó, giá trị trung bình dự kiến sẽ phải là khoảng 5.999999999999 ...

Tuy nhiên, tôi dường như không thể tìm ra giá trị mong đợi sẽ là gì với ví dụ của tôi chỉ bằng 2 con xúc xắc. Ai đó có thể giúp tôi đến một số? Nó sẽ chỉ vượt quá 3,5? Đây có phải là một cái gì đó có thể được tính toán?

dice

— Jason
nguồn

3

Bạn có thể liệt kê không gian mẫu? Liệt kê các khả năng cho ví dụ 2 con xúc xắc.

— soakley

6

Thí nghiệm cũng có thể được mô phỏng. Cách tiếp cận này rất hữu ích khi việc liệt kê khó khăn (như gieo 3 con xúc xắc).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Nishanth
nguồn

30

Không cần sử dụng mô phỏng cho trường hợp này, trường hợp chung là khá dễ dàng để phân tích. Gọi là số xúc xắc và là số lần lăn tối đa được thực hiện khi tung xúc xắc . $n$ $X$ $n$

Theo sau và nói chung

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

với

trong khoảng từ 1 đến 6. Do đó ta có thể thu được

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

Vì vậy, chúng ta có thể viết ra phân phối xác suất ở dạng đóng. Làm điều này với bạn sẽ có được giá trị mong đợi 4.472222. $n = 2$

— Erik
nguồn

2

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

11

Tôi đề nghị chỉ làm việc thông qua các trường hợp tầm thường để xem câu trả lời.

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Giá trị dự kiến của tổng là 7. Đây là trường hợp vì các cuộn là các bản vẽ độc lập giống hệt nhau, vì vậy chúng có thể được tính tổng. Kỳ vọng của việc lăn một cái chết hình khối công bằng là 3,5.

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

$n$ $n$ $n$

— d0rmLife
nguồn

2

Giả sử mỗi trong số 36 kết hợp có xác suất bằng nhau, chúng ta chỉ cần thêm các giá trị của mỗi kết hợp trong 36 kết hợp và chia cho 36 để có trung bình:

1 khả năng: 11
3 khả năng: 12, 21, 22
5 khả năng: 13, 23, 31, 32, 33
7 khả năng: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 khả năng: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 khả năng: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4,47222 ..

— Briguy37
nguồn

1

Troll Dice lăn là các công cụ cho việc tìm kiếm con xúc xắc suất. Anh ta có một bài viết giải thích về việc thực hiện, nhưng nó khá hàn lâm.

max(2d6) sản lượng

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— Câu hỏi
nguồn