Sự khác biệt giữa N và N-1 trong tính toán phương sai dân số là gì?

Tôi đã không hiểu tại sao có Nvà N-1trong khi tính toán phương sai dân số. Khi chúng ta sử dụng Nvà khi chúng ta sử dụng N-1?

Nhấn vào đây để xem kích thước thật

Nó nói rằng khi dân số rất lớn, không có sự khác biệt giữa N và N-1 nhưng nó không cho biết tại sao lại có N-1 lúc ban đầu.

Chỉnh sửa: Xin đừng nhầm lẫn với nvà n-1được sử dụng để ước tính.

Edit2: Tôi không nói về ước tính dân số.

n ( N - 1 ) / N = 1 - ( 1 / N ) 1 - 2 / N 1 - 17 / N exp ( - 1 / N $N$ là kích thước dân số và là kích thước mẫu. Câu hỏi đặt ra tại sao phương sai dân số là độ lệch bình phương trung bình so với giá trị trung bình thay vì lần. Đối với vấn đề đó, tại sao dừng lại ở đó? Tại sao không nhân độ lệch bình phương trung bình với hoặc hoặc chẳng hạn?$n$$(N-1)/N = 1-(1/N)$$1-2/N$$1-17/N$$\exp(-1/N)$

Có một lý do tốt để không. Bất kỳ số liệu nào tôi vừa đề cập sẽ phục vụ tốt như một cách để định lượng một "sự lây lan điển hình" trong dân chúng. Tuy nhiên, nếu không có kiến ​​thức trước về quy mô dân số, sẽ không thể sử dụng một mẫu ngẫu nhiên để tìm một công cụ ước tính không thiên vị của một con số như vậy. Chúng ta biết rằng phương sai mẫu , nhân với độ lệch bình phương trung bình so với trung bình mẫu bằng , là một ước lượng không thiên vị của phương sai dân số thông thường khi lấy mẫu thay thế. (Không có vấn đề gì với việc thực hiện hiệu chỉnh này, bởi vì chúng ta biết !) Do đó, phương sai mẫu sẽ là một ước lượng sai lệch của bất kỳ bội số của phương sai dân số trong đó bội số đó, chẳng hạn nhưn 1 - 1 /$(n-1)/n$$n$$1-1/N$, không được biết chính xác trước.

Vấn đề về một số sai lệch chưa biết sẽ lan truyền đến tất cả các thử nghiệm thống kê sử dụng phương sai mẫu, bao gồm các thử nghiệm t và thử nghiệm F. Trên thực tế, việc chia cho bất kỳ thứ gì ngoài trong công thức phương sai dân số sẽ yêu cầu chúng ta thay đổi tất cả các bảng thống kê thống kê t và thống kê F (và nhiều bảng khác), nhưng việc điều chỉnh sẽ phụ thuộc vào quy mô dân số. Không ai muốn phải tạo bảng cho mọi có thể ! Đặc biệt là khi không cần thiết.$N$$N$

Như một vấn đề thực tế, khi là đủ nhỏ rằng việc sử dụng thay vì trong công thức làm cho một sự khác biệt, bạn thường làm biết quy mô dân số (hoặc có thể đoán nó chính xác) và bạn có khả năng sẽ dùng đến nhiều đáng kể hơn nhỏ dân số sửa chữa khi làm việc với các mẫu ngẫu nhiên (không thay thế) từ dân số. Trong tất cả các trường hợp khác, ai quan tâm? Sự khác biệt không thành vấn đề. Vì những lý do này, được hướng dẫn bởi những cân nhắc sư phạm (cụ thể là tập trung vào các chi tiết quan trọng và che đậy những chi tiết không có), một số văn bản thống kê giới thiệu tuyệt vời thậm chí không bận tâm để dạy sự khác biệt: họ chỉ đơn giản cung cấp một công thức phương sai duy nhất ( chia choN - 1 N N $N$$N-1$$N$$N$ hoặc là trường hợp có thể).$n$

Thay vì đi sâu vào toán học, tôi sẽ cố gắng diễn đạt nó bằng những từ đơn giản. Nếu bạn có toàn bộ dân số theo ý của bạn thì phương sai của nó ( phương sai dân số ) được tính bằng mẫu số N. Tương tự, nếu bạn chỉ có mẫu và muốn tính toán phương sai của mẫu này , bạn sử dụng mẫu số N(n của mẫu, trong trường hợp này). Trong cả hai trường hợp, lưu ý, bạn không ước tính bất cứ điều gì: giá trị trung bình mà bạn đo được là giá trị trung bình thực và phương sai bạn tính từ giá trị trung bình đó là phương sai thực sự.

Bây giờ, bạn chỉ có mẫu và muốn suy luận về trung bình và phương sai chưa biết trong dân số. Nói cách khác, bạn muốn ước tính . Bạn lấy trung bình mẫu của bạn để ước tính trung bình dân số (vì mẫu của bạn là đại diện), OK. Để có được ước tính về phương sai dân số, bạn phải giả vờ rằng ý nghĩa đó thực sự có nghĩa là dân số và do đó nó không phụ thuộc vào mẫu của bạn nữa kể từ khi bạn tính toán nó. Để "hiển thị" rằng bây giờ bạn coi nó là cố định, bạn bảo lưu một (bất kỳ) quan sát nào từ mẫu của bạn để "hỗ trợ" giá trị trung bình: bất cứ mẫu nào của bạn có thể xảy ra, một quan sát dành riêng luôn có thể mang giá trị trung bình cho giá trị mà bạn ' đã có và tin rằng không nhạy cảm để lấy mẫu dự phòng. Một quan sát dành riêng là "-1"N-1 trong tính toán phương sai ước tính.

Tưởng tượng rằng bạn bằng cách nào đó biết ý nghĩa dân số thực sự, nhưng muốn ước tính phương sai từ mẫu. Sau đó, bạn sẽ thay thế giá trị trung bình thực đó thành công thức cho phương sai và áp dụng mẫu số N: không cần "-1" ở đây vì bạn biết giá trị trung bình thực, bạn đã không ước tính nó từ cùng một mẫu.

Nói chung, khi một người chỉ có một phần dân số, tức là một mẫu, bạn nên chia cho n-1. Có một lý do chính đáng để làm như vậy, chúng ta biết rằng phương sai mẫu, nhân với độ lệch bình phương trung bình so với trung bình mẫu bằng (n − 1) / n, là một ước lượng không thiên vị của phương sai dân số.

Bạn có thể tìm thấy một bằng chứng cho thấy công cụ ước tính của phương sai mẫu không thiên vị ở đây: https : // ec economtheoryblog.com/2012/06/28/latexlatexs2/

Hơn nữa, nếu người ta áp dụng công cụ ước tính của phương sai dân số, đó là phiên bản của công cụ ước tính phương sai chia cho n, trên một mẫu thay vì dân số, ước tính thu được sẽ sai lệch.

Trước đây, có một lập luận rằng bạn nên sử dụng N cho phương sai không suy luận nhưng tôi không khuyến nghị điều đó nữa. Bạn nên luôn luôn sử dụng N-1. Khi kích thước mẫu giảm, N-1 là một sự điều chỉnh khá tốt cho thực tế là phương sai mẫu sẽ thấp hơn (bạn có nhiều khả năng lấy mẫu gần mức cao nhất của phân phối --- xem hình). Nếu cỡ mẫu thực sự lớn thì nó không thành vấn đề.

Một giải thích khác là dân số là một công trình lý thuyết không thể đạt được. Do đó, luôn luôn sử dụng N-1 vì bất cứ điều gì bạn đang làm, tốt nhất là ước tính phương sai dân số.

Ngoài ra, bạn sẽ thấy N-1 cho các ước tính phương sai từ đây trở đi. Bạn sẽ không bao giờ gặp phải vấn đề này ... ngoại trừ trong bài kiểm tra khi giáo viên của bạn có thể yêu cầu bạn phân biệt giữa suy luận và biện pháp phương sai không suy luận. Trong trường hợp đó, đừng sử dụng câu trả lời của ai hoặc của tôi, hãy tham khảo câu trả lời của ttnphns.

Lưu ý, trong hình này, phương sai phải gần bằng 1. Hãy xem nó thay đổi bao nhiêu với cỡ mẫu khi bạn sử dụng N để ước tính phương sai. (đây là "thiên vị" được đề cập đến ở mọi nơi)

Phương sai dân số là tổng độ lệch bình phương của tất cả các giá trị trong dân số chia cho số lượng giá trị trong dân số. Tuy nhiên, khi chúng ta ước tính phương sai của dân số từ một mẫu, chúng ta gặp phải vấn đề là độ lệch của các giá trị mẫu so với giá trị trung bình của mẫu trung bình thấp hơn một chút so với độ lệch của các giá trị mẫu đó từ ( không rõ) có nghĩa là dân số thực sự. Điều đó dẫn đến một phương sai được tính toán từ mẫu nhỏ hơn một chút so với phương sai dân số thực sự. Sử dụng ước số n-1 thay vì n sửa cho sự đánh giá thấp đó.