Giá trị trung bình của hai phân phối bình thường

Giả sử tôi có hai phân phối đo lường bình thường được thực hiện với các công cụ khác nhau. Chiến lược tốt nhất để tính trung bình có trọng số của hai phân phối là gì nếu phân phối lỗi của cả hai công cụ là không xác định? Có thể không?

normal-distribution mean

— Siddhesh
nguồn

Tổng của hai biến bình thường độc lập là biến ngẫu nhiên bình thường, ví dụ: và sẽ nhận được bạn Tại đây, bạn có thể sử dụng cho trung bình trọng lượng bằng nhau. $x\sim\mathcal{N}(\mu_x,\sigma_x^2)$ $y\sim\mathcal{N}(\mu_y,\sigma_y^2)$

α x + (1 - α) y \sim N (α μ_{x} + (1 - α) μ_{y}, α^{2} σ_{x}^{2} + (1 - α)^{2} σ_{y}^{2})

$\alpha x+(1-\alpha)y\sim\mathcal{N}(\alpha\mu_x+(1-\alpha)\mu_y,\alpha^2\sigma_x^2+(1-\alpha)^2\sigma_y^2)$

α = \frac{1}{2}

$\alpha=\frac{1}{2}$

Nếu bạn cho rằng cả hai công cụ đều không thiên vị , thì bạn thực sự có một tình huống đơn giản hơn:

x \sim N (μ, σ_{x}^{2})

$x\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma_x^2)$

y \sim N (μ, σ_{y}^{2})

$y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma_y^2)$

Trong trường hợp này, bạn cho rằng trung bình cả hai công cụ đều chính xác (như được định nghĩa bởi IUPAC), tức là không có sai lệch. Tuy nhiên, độ chính xác của chúng là khác nhau . $\sigma_x,\sigma_y$

Hãy xây dựng một công cụ ước tính có trọng số

\hat{μ} = α x + (1 - α) y

$\hat\mu=\alpha x + (1-\alpha) y$

Hãy xem đặc điểm của nó:

E [\hat{μ}] = α μ + (1 - α) μ = μ

$E[\hat\mu]=\alpha\mu+(1-\alpha)\mu=\mu$

Tốt, nó không thiên vị bất kể trọng lượng , tức là chính xác . $\alpha$

Hãy xem độ chính xác của nó là gì :

V a r [\hat{μ}] = α^{2} σ_{x}^{2} + (1 - α)^{2} σ_{y}^{2}

$Var[\hat\mu]=\alpha^2\sigma_x^2+(1-\alpha)^2\sigma_y^2$

Giả định độc lập của các biến thông thường thường hợp lý cho các phép đo dụng cụ trừ khi chúng bị ảnh hưởng với các cú sốc ngẫu nhiên chính xác tương tự, có thể xảy ra trong một số thiết lập nhất định nhưng thường không gặp phải.

Trong trường hợp này, tối ưu

α = \frac{σ_{y}^{2}}{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}}

$\alpha=\frac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2+\sigma_y^2}$

Bạn có thể thấy rằng nếu các phần tử là như nhau, trọng số là . khác, nếu công cụ đầu tiên chính xác hơn hai lần, ví dụ thì bạn nhận được $\alpha=1/2$ $\sigma_x=\sigma_y/2$

α = \frac{4}{4 + 1} = 0.8

$\alpha=\frac{4}{4+1}=0.8$

— Aksakal
nguồn

Không có cách nào để gán trọng số cho μx và μy dựa trên phương sai của các phân phối đó? Bởi vì trong trường hợp trên, chúng tôi giả định rằng cả hai thiết bị đo đều chính xác như nhau

— Siddhesh

@Siddhesh, không, chúng tôi không cho rằng chúng chính xác như bạn có thể thấy chúng tôi có . Bạn có thể chỉ định trọng lượng nhưng mục tiêu của bạn là gì?

σ_{x}, σ_{y}

$\sigma_x,\sigma_y$

— Aksakal

@Aksakal bạn cũng có thể thêm rằng nếu X bình thường, hơn aX + b (trong đó a và b là const.) Cũng bình thường, điều này làm cho phép toán dễ dàng và có thể áp dụng.

— Tim

Tổng của hai quy tắc là bình thường khi và chỉ khi chúng là biên của phân phối chuẩn bivariate. Độc lập thường đảm bảo điều đó, nhưng nếu các biến không độc lập thì tổng của chúng có thể không bình thường.

— mpiktas

@mpiktas, cảm ơn vì đã sửa, tôi đã cập nhật câu trả lời

— Aksakal

Tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời này thành một câu chi tiết hơn vào cuối ngày.

Bạn có thể xem xét đo đạc giữa hai mật độ của mình và chọn phân phối ở khoảng cách giữa. Các mật độ này có dạng hình học hyperbol theo chỉ số Fisher-Rao. Bạn có thể google SIR Costa Information Geometry để tính toán chi tiết và biểu thức dạng gần.

— mic
nguồn

Những tính chất này có như là một công cụ ước tính? Nói cách khác, những đặc điểm của câu trả lời này thực sự giải quyết câu hỏi?

— whuber