Làm thế nào để rút ra giá trị trung bình và phương sai của Poisson -truncated?

Làm thế nào tôi có thể rút ra giá trị trung bình và phương sai của Poisson -truncated? Ở đây, là giá trị ngưỡng sao cho chỉ các giá trị lớn hơn được phép, nghĩa là hàm khối lượng xác suất là $k$ $k$ $k$

p_{j} = q_{k}^{- 1} λ^{j} e^{- λ} / j!, j = k + 1, k + 2, \dots

$p_j = q_k^{-1} \lambda^j e^{-\lambda}/j!, \qquad j=k+1, k+2, \dots$

Trong đó là một số nguyên, là một tham số và. $k \geq 0$ $\lambda \gt 0$ $q_k = 1 - \sum_{i=0}^{k} \lambda^i e^{-\lambda}/i!$

— thông
nguồn

Nó được thực hiện giống như cách bạn lấy được giá trị trung bình và phương sai cho phân phối Poisson. Tất cả những thay đổi đó là giá trị bắt đầu của các tổng (từ thay vì ).

k + 1

$k+1$

0

$0$

— whuber

Tôi dường như không thể tìm thấy câu trả lời trực tuyến. Các giải pháp hình thức đóng là gì?

— Cath

Đạo hàm của trung bình

Dưới đây là phương pháp xấu xí, vũ phu. Hãy nhớ lại rằng có thể tìm thấy giá trị trung bình của như sau: $X \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$

E (X) = \sum_{x = 0}^{\infty} x p_{x} = \sum_{x = 0}^{\infty} x (\frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!})

$\mathbb{E}(X) = \sum_{x=0}^{\infty} x p_x = \sum_{x=0}^{\infty} x \left( \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \right)$

Đặc biệt quan sát rằng thuật ngữ không đóng góp cho tổng này nên có thể bỏ đi ( thay vào đó chúng tôi bắt đầu tổng tại ) và với chúng tôi có thể hủy vàrời đitrong mẫu số: $x=0$ $x=1$ $x>0$ $x$ $x!$ $(x-1)!$

E (X) = \sum_{x = 1}^{\infty} \frac{λ^{x} e^{- λ}}{(x - 1)!}

$\mathbb{E}(X) = \sum_{x=1}^{\infty} \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{(x-1)!}$

Chúng tôi quan sát triệu hồi này gần giống với PMF Poisson một lần nữa, nhưng muốn thấy theo số mũ của . Chúng ta có thể đạt được điều này bằng cách bao gồm một ngoài tổng. Để thuận tiện, hãy dán lại : $x-1$ $\lambda$ $\lambda$ $y=x-1$

E (X) = λ \sum_{x = 1}^{\infty} \frac{λ^{x - 1} e^{- λ}}{(x - 1)!} = λ \sum_{y = 0}^{\infty} \frac{λ^{y} e^{- λ}}{y!} = λ \sum_{y = 0}^{\infty} p_{y} = λ (1) = λ

$\mathbb{E}(X) = \lambda \sum_{x=1}^{\infty} \frac{\lambda^{x-1} e^{-\lambda}}{(x-1)!} = \lambda \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^y e^{-\lambda}}{y!} = \lambda \sum_{y=0}^{\infty} p_y = \lambda (1) = \lambda$

Sự khác biệt nào trong phân phối -truncated tạo ra? Tổng đầu tiên của chúng tôi chỉ cần bắt đầu tại , vì cho và PMF có một yếu tố phụ là mà chúng tôi cũng có thể là yếu tố bên ngoài. Chúng tôi một lần nữa tính hệ số và đặt để có được PMF Poisson: $k$ $x=k+1$ $p_x = 0$ $x \leq k$ $q_k^{-1}$ $\lambda$ $y=x-1$

E (X) = \sum_{x = k + 1}^{\infty} x p_{x} = q_{k}^{- 1} \sum_{x = k + 1}^{\infty} x (\frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!}) = λ q_{k}^{- 1} \sum_{x = k + 1}^{\infty} \frac{λ^{x - 1} e^{- λ}}{(x - 1)!} = λ q_{k}^{- 1} \sum_{y = k}^{\infty} \frac{λ^{y} e^{- λ}}{y!}

$\mathbb{E}(X) = \sum_{x=k+1}^{\infty} x p_x = q_k^{-1} \sum_{x=k+1}^{\infty} x \left( \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \right) = \lambda q_k^{-1} \sum_{x=k+1}^{\infty} \frac{\lambda^{x-1} e^{-\lambda}}{(x-1)!} = \lambda q_k^{-1} \sum_{y=k}^{\infty} \frac{\lambda^{y} e^{-\lambda}}{y!}$

Tổng này không đi đến thống nhất, nhưng (trong trường hợp đặc biệt là , chúng tôi hiểu ). $\sum_{y=k}^{\infty} \lambda^{y} e^{-\lambda}/y! = 1 - \sum_{y=0}^{k-1} \lambda^{y} e^{-\lambda}/y! = q_{k-1}$ $k=0$ $q_{-1} = 1$

Do đó, chúng tôi có được:

E (X) = \frac{λ q_{k - 1}}{q_{k}}

$\mathbb{E}(X) = \frac {\lambda q_{k-1}}{q_k}$

Đạo hàm của phương sai

Chúng ta có thể làm một cái gì đó tương tự để tìm ra phương sai, nhờ đó việc sử dụng các khoảnh khắc giai thừa sẽ dễ dàng hơn để giúp với thủ thuật hủy bỏ giai thừa. Khoảnh khắc thứ hai của phân phối Poisson là:

E ((X)_{2}) = E (X (X - 1)) = \sum_{x = 0}^{\infty} x (x - 1) p_{x} = \sum_{x = 0}^{\infty} x (x - 1) (\frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!})

$\mathbb{E}\left((X)_2\right) = \mathbb{E}\left(X(X-1)\right) = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) p_x = \sum_{x=0}^{\infty} x(x-1) \left( \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \right)$

Tương tự như cách chúng tôi tính giá trị trung bình, chúng tôi lưu ý rằng hai thuật ngữ đầu tiên không đóng góp vào tổng và có thể bị bỏ qua, do đó, chỉ số bắt đầu của chúng tôi là và đối với chúng tôi có thể hủy bỏ yếu tố giảm của chúng tôi vớitrong mẫu số. Để có được số mũ phù hợp của chúng tôi tính ra và tương tự trước khi chúng tôi có thể đặt : $x=2$ $x \geq 2$ $x(x-1)$ $x!$ $\lambda$ $\lambda^2$ $y=x-2$

\begin{matrix} (1) & E ((X)_{2}) = λ^{2} \sum_{x = 2}^{\infty} \frac{λ^{x - 2} e^{- λ}}{(x - 2)!} = λ^{2} \sum_{y = 0}^{\infty} \frac{λ^{y} e^{- λ}}{y!} = λ^{2} (1) = λ^{2} \end{matrix}

$\mathbb{E}\left((X)_2\right) = \lambda^2 \sum_{x=2}^{\infty} \frac{\lambda^{x-2} e^{-\lambda}}{(x-2)!} = \lambda^2 \sum_{y=0}^{\infty} \frac{\lambda^{y} e^{-\lambda}}{y!} =\lambda^2 (1) = \lambda^2 \tag{1}$

Vì và , chúng tôi có quy tắc chung . Cụ thể đối với phân phối Poisson, do đó, chúng tôi thu được . $\mathbb{E}\left((X)_2\right) = \mathbb{E}\left(X(X-1)\right) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)$ $\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ $\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\left((X)_2\right) + \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(X)^2$ $\operatorname{Var}(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$

Một lần nữa, chúng tôi cố gắng lặp lại phân tích này để phân phối -truncated. $k$

\begin{matrix} (2) & E ((X)_{2}) = \sum_{x = k + 1}^{\infty} x (x - 1) p_{x} = q_{k}^{- 1} \sum_{x = k + 1}^{\infty} x (x - 1) (\frac{λ^{x} e^{- λ}}{x!}) \end{matrix}

$\mathbb{E}\left((X)_2\right) = \sum_{x=k+1}^{\infty} x(x-1) p_x = q_k^{-1} \sum_{x=k+1}^{\infty} x(x-1) \left( \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \right) \tag{2}$

Giả sử , chúng ta có thể hủy giai thừa như trước để sản xuất: $k \geq 1$

E ((X)_{2}) = λ^{2} q_{k}^{- 1} \sum_{x = k + 1}^{\infty} \frac{λ^{x - 2} e^{- λ}}{(x - 2)!} = λ^{2} q_{k}^{- 1} \sum_{y = k - 1}^{\infty} \frac{λ^{y} e^{- λ}}{y!} = \frac{λ^{2} q_{k - 2}}{q_{k}}

$\mathbb{E}\left((X)_2\right) = \lambda^2 q_k^{-1} \sum_{x=k+1}^{\infty} \frac{\lambda^{x-2} e^{-\lambda}}{(x-2)!} = \lambda^2 q_k^{-1} \sum_{y=k-1}^{\infty} \frac{\lambda^{y} e^{-\lambda}}{y!} = \frac{ \lambda^2 q_{k-2}}{q_k}$

Chúng ta cần lý do riêng về trường hợp trong , vì số hạng đầu tiên của tổng, trong đó , sau đó sẽ là Và chúng tôi không thể hủy giai thừa thành. Tuy nhiên, thuật ngữ này bằng không nên chúng ta có thể bắt đầu tính tổng tại . Đây chính xác là tổng số tiền chúng tôi đã thực hiện cho phân phối Poisson chưa được phân tích trong , do đó, chúng tôi thu được . Nếu chúng ta lấy thì chúng ta có thể sử dụng cho cũng như ; không cần điều trị $k=0$ $(2)$ $x=1$ $(1)(0)\frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!}$ $(-1)!$ $x=2$ $(1)$ $\mathbb{E}(X) = q_k^{-1} \lambda^2$ $q_{-2}=1$ $\lambda^2 q_{k-2}/q_k$ $k=0$ $k \geq 1$ $k=0$ như một trường hợp đặc biệt trong công thức cuối cùng của chúng tôi.

Áp dụng một lần nữa, chúng tôi có được: $\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\left((X)_2\right) + \mathbb{E}(X) - \mathbb{E}(X)^2$

Var (X) = \frac{λ^{2} (q_{k - 2} q_{k} - q_{k - 1}^{2})}{q_{k}^{2}} + \frac{λ q_{k - 1}}{q_{k}}

$\operatorname{Var}(X) = \frac{\lambda^2\left( q_{k-2}q_k - q_{k-1}^2 \right)}{q_k^2} + \frac{\lambda q_{k-1}}{q_k}$

Bình luận

Như chúng ta đã thấy, rất hữu ích khi xác định cho , điều này không được đề cập rõ ràng trong câu hỏi ban đầu. Thật yên tâm khi phát hiện ra rằng thiết lập trong các công thức của chúng tôi, chúng tôi phục hồi giá trị trung bình và phương sai của Poisson chưa được cắt. Phương pháp khoảnh khắc giai thừa mở rộng tốt cho những khoảnh khắc cao hơn; đối với Poisson chưa được cắt, chúng ta có . Các phương thức phức tạp hơn tồn tại nhưng tôi muốn trình bày một cách tiếp cận chỉ giả sử người đọc quen thuộc với các máy móc cơ bản của các phép tính trung bình và phương sai. $q_k = 1$ $k < 0$ $k=-1$ $\mathbb{E}\left((X)_r\right) = \lambda^r$

Một mô phỏng số nhanh chóng trong R

k <- 10
lambda <- 3
n <- 30 #highest index to go up to
qk <- function(k) {1 - ppois(k, lambda=lambda)}
pj <- sapply(1:n, function(x) {
  ifelse(x > k, qk(k)^(-1) * dpois(x, lambda=lambda), 0)})

> sum(pj) #verify total probability comes to 1
[1] 1
> sum(pj * 1:n) #simulated mean
[1] 11.31388
> lambda * qk(k-1) / qk(k) #mean from formula
[1] 11.31388
> sum(pj * (1:n)^2) - sum(pj * 1:n)^2 #simulated variance
[1] 0.3904626
> lambda^2 * (qk(k-2)*qk(k) - qk(k-1)^2) / qk(k)^2 + lambda * qk(k-1) / qk(k) #variance from formula
[1] 0.3904626

— Cá bạc
nguồn

Điều này nên có nhiều upvote.

— Astrid