Có một thước đo nào về việc chuỗi Markov cho phép di chuyển giữa các quốc gia tốt như thế nào không?

Xác định

A = (\begin{matrix} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} .99 & .01 \\ .01 & .99 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} .01 & .99 \\ .99 & .01 \end{matrix})

$A = \left( \begin{matrix} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{matrix} \right),\; \; B = \left( \begin{matrix} .99 & .01 \\ .01 & .99 \end{matrix} \right), \; \; C = \left( \begin{matrix} .01 & .99 \\ .99 & .01 \end{matrix} \right)$

Thực hiện như là chuỗi Markov, rõ ràng phép di chuyển giữa các quốc gia của mình tốt hơn so với , và cho phép chuyển động giữa các quốc gia của mình tốt hơn . $A$ $B$ $C$ $A$

Có một số biện pháp trên không gian của chuỗi Markov đo lường mức độ họ cho phép di chuyển giữa các tiểu bang của họ tốt như thế nào? Một số loại tắc nghẽn hoặc thống kê khả năng tiếp cận?

Chỉnh sửa: Tôi biết về tỷ lệ pha trộn, nhưng tôi tự hỏi về một thống kê cũng hoạt động để hấp thụ chuỗi Markov.

markov-process

— Bianca
nguồn

Một biện pháp sẽ là xu hướng duy trì ở trạng thái tương tự, có thể được đo lường một cách thô thiển bằng một số chức năng của dấu vết

— Glen_b -Reinstate Monica

Đã đồng ý. Đối với việc không hấp thụ, tôi đã suy nghĩ một cái gì đó như trong đó tổng là trên tất cả các trạng thái, đó là xác suất di chuyển khỏi trạng thái hiện tại có trọng số bởi xác suất tồn tại trạng thái đó (về cơ bản, xác suất di chuyển). Tôi không biết làm thế nào để mở rộng điều này sang việc hấp thụ mặc dù (không có khoảng cách cố định) và "một chức năng của dấu vết" dường như không hoàn hảo ở chỗ nó không xem xét xác suất tồn tại ở mỗi trạng thái và cân bằng tất cả chúng.

\sum_{i} π_{i} (1 - p_{i i})

$\sum_{i} \pi_i (1-p_{ii})$

— Bianca

Dường như rõ ràng rằng bất kỳ biện pháp hữu ích nào và thực sự phải được tính toán trực tiếp từ xác suất chuyển tiếp vì đây là những gì xác định một loại chuỗi cụ thể. Ngoài ra, sẽ có một số mất thông tin ở chỗ nói chung, không có biện pháp vô hướng nào có thể đảo ngược để đưa ra một ma trận duy nhất. Nhưng phương sai của xác suất là một ứng cử viên đầu tiên vì phương sai của bằng 0 và phương sai cho hai phương án kia lớn hơn nhiều. Nó tự nhiên là một biện pháp nghịch đảo. Nhưng bạn muốn biện pháp này để làm gì?

A

$A$

— Nick Cox

Phương sai là một ứng cử viên, vâng, nhưng sẽ đưa ra cùng một số cho và , không phản ánh câu trả lời tôi muốn. Tôi cho rằng chúng ta có thể kết hợp các ý tưởng ... có thể có một cách để thực hiện phương sai đã ký, trong đó dấu hiệu xuất phát từ dấu vết? Người giám sát của tôi không thoải mái khi tôi đăng chi tiết về nghiên cứu chưa được công bố, nhưng mơ hồ: Chúng tôi đã đưa ra một cách mới để xây dựng một ma trận rất lớn quan trọng trong sinh học, và chúng tôi muốn chứng minh rằng nó cho phép dòng chảy giữa các trạng thái tốt hơn công trình cuối cùng, đôi khi bị kẹt ở một số tiểu bang trong thời gian dài.

B

$B$

C

$C$

— Bianca

Chúng ta phải suy đoán về những gì bạn thực sự tìm kiếm, vì vậy giải thích thêm về động lực của câu hỏi này sẽ được hoan nghênh. Một suy nghĩ là tính thời gian cư trú dự kiến của các trạng thái không hấp thụ, trong đó "thời gian cư trú" có nghĩa là số bước xảy ra trước khi hệ thống chuyển khỏi trạng thái hiện tại. Có mối quan hệ trực tiếp giữa thời gian cư trú dự kiến, tốc độ dòng chảy trung bình và "các yếu tố chậm phát triển" trong các chuỗi đại diện cho sự vận chuyển tiến bộ và lan tỏa của các chất được mang theo trong dòng chảy.

— whuber

Câu trả lời:

Có lẽ độ dẫn của chuỗi Markov là quan niệm đúng đắn để xem xét. Đặt là ma trận chuyển tiếp với phân phối cố định (trong trường hợp của bạn, luôn là phân phối đồng đều). Các dẫn của là $P\in[0,1]^{n\times n}$ $\pi$ $\pi$ $P$

Φ (P) := min_{S \subset [n], π (S) \leq \frac{1}{2}} \frac{\sum_{i \in S, j \in S^{c}} π (i) \cdot P_{i, j}}{π (S)} .

$\Phi(P):=\min_{S\subset [n], \pi(S)\le\frac{1}{2}}\frac{\sum_{i\in S,j\in S^c} \pi(i)\cdot P_{i,j}}{\pi(S)}.$ Xem ví dụ "Độ dẫn điện và trộn nhanh chuỗi Markov" của James King.

Ví dụ của bạn mang lại , và . $\Phi(A)=0.5$ $\Phi(B)=0.1$ $\Phi(C)=0.99$

— Tobias Windisch
nguồn

Theo nhận xét của @Bianca ở trên, độ dẫn "cho <s> cùng số cho B và C, không phản ánh câu trả lời tôi muốn."

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone: Có một lỗi đánh máy trong trong phiên bản trước của câu trả lời của tôi, điều này hiện đã được sửa.

Φ (C)

$\Phi(C)$

— Tobias Windisch

Dựa vào đó, tôi xin "rút" nhận xét trên của mình, nhưng không xóa nó để không để lại bình luận của bạn bị treo "trong trường bên trái".

— Mark L. Stone

Nếu biểu đồ chuyển tiếp được kết nối mạnh (nghĩa là ở trạng thái ban đầu, bất kỳ trạng thái nào khác có thể truy cập được với p> 0, có thể thông qua trạng thái trung gian), thì khi thời gian đến vô cùng, xác suất tìm thấy hệ thống ở trạng thái nhất định không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu. Điều đó có nghĩa là, có một cơ hội để tìm hệ thống ở trạng thái X sau khi tôi bước, hội tụ đến một số , là một chức năng duy nhất của ma trận chuyển tiếp (Phân phối cố định trong Tobias câu trả lời).

p_{i} (X)

$p_i(X)$

p (X)

$p(X)$

π

$\pi$

Đối với cả 3 ví dụ của bạn, này chỉ đơn giản là (.5, .5) vì cả hai trạng thái đều có khả năng như nhau. Điều này có ý nghĩa: nhưng cũng nhưng nói chung điều này không cần phải giữ. Không phải tất cả các tiểu bang phải có khả năng như nhau. Ví dụ đơn giản: $\pi$

(\begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix}) (\begin{matrix} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix})

$\left( \begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} .5 & .5 \\ .5 & .5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix} \right)$

(\begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix}) (\begin{matrix} .9 & .1 \\ .1 & .9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix})

$\left( \begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} .9 & .1 \\ .1 & .9 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} .5 \\ .5 \end{matrix} \right)$

(\begin{matrix} .5 & .5 & 0 \\ .25 & .5 & .25 \\ 0 & .5 & .5 \end{matrix})

$\left( \begin{matrix} .5 & .5 & 0 \\ .25 & .5 & .25 \\ 0 & .5 & .5 \end{matrix} \right)$ với xác suất (0,25, 0,55, 0,25). Bạn có thể nghĩ về điều này như một bên trái <-> Giữa <-> Bộ ba trạng thái bên phải, với 50% cơ hội di chuyển nhưng không trực tiếp từ trái sang phải. Vì bạn luôn phải đi qua giữa chừng, rất có thể.

Bây giờ, như các nhận xét về câu hỏi đã được chỉ ra, bạn có thể sử dụng xác suất này để cân nhắc cơ hội ở lại trong mỗi trạng thái khác nhau.

Trong các ví dụ đơn giản của bạn, kết quả tương ứng sẽ là 0,5, 0,99 và 0,1, đơn giản vì cơ hội ở cùng trạng thái (giá trị của đường chéo) là giống nhau trên đường chéo. Đối với các ma trận không tầm thường, nó sẽ là trung bình có trọng số của đường chéo.

Điều này có nghĩa là các giá trị đường chéo chính xác không quan trọng. Tôi tin rằng điều này phản ánh ý định của câu hỏi, không phân biệt giữa các loại chuyển đổi trạng thái khác nhau.

— MSalters
nguồn