giới hạn của là

Tôi tự hỏi về việc hiển thị giới hạn: trong đó là hàm phân phối đuôi, , trong đó là hàm phân phối tích lũy

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

Vì $x \to \infty$ , $\overline{F} \to 0$ , vì vậy chúng tôi có dạng không xác định, tôi viết lại thành:

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ và sử dụng quy tắc của L'Hôpital :

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ nhưng điều này đòi hỏi kiến thức về

f

$f$ là

x \to \infty

$x \to \infty$ mà tôi không có.

Làm thế nào để tôi đánh giá giới hạn này?

probability cdf

— dimebucker91
nguồn

Bạn nên làm rõ các giả định của mình: nói chung, kết quả được yêu cầu không đúng (ví dụ đối với Pareto), nhưng giữ khi

X

$X$ dương

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ . Gợi ý: sử dụng

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ .

— Yves

@Sol biệt nitpicking một chút, nhưng điều kiện thực sự yếu hơn một chút đòi hỏi tính tích hợp. Ví dụ: người ta có thể hiển thị

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$ ngụ ý

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$ cho tất cả

q

$q$ hoàn toàn nhỏ hơn

p

$p$ . Nhưng nó không đúng với

q = p

$q = p$ nói chung. Ngoài đỉnh đầu, tôi nghĩ mật độ tỷ lệ với

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$ cho

x > 2

$x > 2$ đưa ra ví dụ, nhưng tôi thú nhận rằng tôi đã không làm toán.

— anh chàng

Điều này được chứng minh trong một bài báo với một cái tên ngớ ngẩn, quy tắc darth vader trên trang 2. Bài viết này không phải là về câu hỏi của bạn chính xác, nhưng họ trả lời câu hỏi của bạn trong đó.

— RayVelcoro

Câu trả lời:

Giả sử rằng kỳ vọng tồn tại và để thuận tiện rằng biến ngẫu nhiên có mật độ (tương đương là nó hoàn toàn liên tục đối với thước đo Lebesgue), chúng tôi sẽ chỉ ra rằng

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

Sự tồn tại của kỳ vọng ngụ ý rằng phân phối không có nhiều chất béo, không giống như phân phối Cauchy chẳng hạn.

Vì kỳ vọng tồn tại, chúng tôi có điều đó

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

và điều này luôn được xác định rõ. Bây giờ lưu ý rằng đối với , $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

và từ hai điều này theo sau nó

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

như trong giới hạn thuật ngữ tiếp cận kỳ vọng. Bằng sự bất bình đẳng của chúng tôi và tính không thay đổi của tích phân sau đó, chúng tôi có kết quả của chúng tôi. $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

Hi vọng điêu nay co ich.

— JohnK
nguồn

Cảm ơn bạn (+1). Làm giảm lại giả định: ví dụ, khi là phân phối Cauchy, thì giá trị giới hạn của là , không phải bằng không. Đối với các bản phân phối Student với tham số nhỏ hơn ( biểu thị Cauchy), giới hạn này là vô hạn.

F

$F$

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$

1 / π

$1/\pi$

t

$t$

1

$1$

1

$1$

— whuber

Đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên không âm , chúng tôi đã (xem (21,9) của Billingsley 's Xác suất và biện pháp ): Với , thay thế bằng dẫn từ thành $Y$

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$

M > 0

$M > 0$

Y

$Y$

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$

(*)

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

Giả sử có thể tích hợp (nghĩa là ), thì phía bên trái của hội tụ thành là , theo định lý hội tụ thống trị. Sau đó, nó sẽ theo sau Do đó, kết quả sẽ xảy ra. $X$ $E[|X|]< \infty$ $(**)$ $0$ $M \to \infty$

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$

Lưu ý: Bằng chứng này sử dụng một số lý thuyết đo lường, mà tôi nghĩ là đáng giá vì bằng chứng giả định rằng sự tồn tại của mật độ không giải quyết được một nhóm đa số các biến ngẫu nhiên, ví dụ, các biến ngẫu nhiên rời rạc như nhị thức và Poisson.

— Tràn Tây
nguồn

Bằng chứng không thực sự yêu cầu có thể tích hợp được, nhưng chỉ có là như vậy đối với một số hữu hạn , do đó có thể có đuôi trái nặng. Danh tính từ cuốn sách của Billingsley không thực sự cần thiết khác vì có xu hướng đối với với xác suất một.

X

$X$

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$

x_{0}

$x_0$

X

$X$

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$

0

$0$

x \to \infty

$x \to \infty$

— Yves

@ Yves @ chàng Vâng, điểm tốt. Tính tích hợp chỉ là một điều kiện đủ nhưng không bao giờ là điều kiện cần. Tuy nhiên, nó có thể là điều kiện ngắn gọn và bình thường nhất được áp đặt để rút ra mối quan hệ mà OP yêu cầu.

— Zhanxiong

ĐỒNG Ý. Thay thế ngắn gọn: .

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$

— Yves

@ Tất nhiên rồi :)

— Zhanxiong 10/11/2015