Các pdf của


15

Giả sử X1,X2,...,Xn là iid từ N(μ,σ2) với biết μRσ2>0

Hãy Z=X1X¯S,S là độ lệch chuẩn ở đây.

Có thể thấy rằng Z có Lebesgue pdf

f(z)=nΓ(n12)π(n1)Γ(n22)[1nz2(n1)2]n/22I(0,(n1)/n)(|Z|)

Câu hỏi của tôi là làm thế nào để có được pdf này?

Câu hỏi đặt ra là từ đây trong ví dụ 3.3.4 để tìm UMVUE của P(X1c) . Tôi có thể hiểu logic và quy trình tìm UMVUE nhưng không biết cách lấy pdf.

Tôi nghĩ rằng câu hỏi này cũng liên quan đến này một

Cảm ơn bạn rất nhiều vì đã giúp đỡ hoặc chỉ ra bất kỳ tài liệu tham khảo liên quan cũng sẽ được chiếm đoạt.

Câu trả lời:


14

Điều hấp dẫn về kết quả này là mức độ giống như phân phối của một hệ số tương quan. Có một lý do.


Giả sử là bivariate bình thường với tương quan bằng 0 và phương sai chung σ 2 cho cả hai biến. Vẽ một mẫu iid ( x 1 , y 1 ) , Mạnh , ( x n , y n ) . Người ta đã biết và sẵn sàng về mặt hình học (như Fisher đã làm cách đây một thế kỷ) rằng phân phối hệ số tương quan mẫu(X,Y)σ2(x1,y1),,(xn,yn)

r=i=1n(xix¯)(yiy¯)(n1)SxSy

f(r)=1B(12,n21)(1r2)n/22, 1r1.

(Ở đây, như thường lệ, ˉ y là phương tiện mẫu và S xS y là căn bậc hai của các ước lượng phương sai không thiên vị.) Bhàm Beta , trong đóx¯y¯SxSyB

(1)1B(12,n21)=Γ(n12)Γ(12)Γ(n21)=Γ(n12)πΓ(n21).

Để tính , chúng ta có thể khai thác tính bất biến của nó theo các phép quay trong R n xung quanh đường được tạo bởi ( 1 , 1 , Câu , 1 ) , cùng với sự bất biến của phân phối mẫu theo cùng một phép quay và chọn y i / S y là bất kỳ vectơ đơn vị nào có thành phần tổng bằng không. Một trong những vector tỷ lệ với v = ( n - 1 , - 1 , ... , - 1 ) . Độ lệch chuẩn của nó làrRn(1,1,,1)yi/Syv=(n1,1,,1)

Sv=1n1((n1)2+(1)2++(1)2)=n.

Do đó, phải có cùng phân phối nhưr

i=1n(xix¯)(viv¯)(n1)SxSv=(n1)x1x2xn(n1)Sxn=n(x1x¯)(n1)Sxn=nn1Z.

Do đó, tất cả những gì chúng ta cần là hủy bỏ để tìm phân phối của Z :rZ

fZ(z)=|nn1|f(nn1z)=1B(12,n21)nn1(1n(n1)2z2)n/22

cho . Công thức (1) cho thấy điều này giống hệt với câu hỏi.|z|n1n


Không hoàn toàn thuyết phục? Đây là kết quả của việc mô phỏng tình huống này 100.000 lần (với , trong đó phân phối là đồng nhất).n=4

Nhân vật

Biểu đồ thứ nhất biểu thị các hệ số tương quan của trong khi biểu đồ thứ hai biểu thị các hệ số tương quan của ( x i , v i ) , i = 1 , Lít , 4(xi,yi),i=1,,4 cho a vector v i được chọn ngẫu nhiênmà vẫn cố định cho tất cả các lần lặp. Cả hai đều thống nhất. Cốt truyện QQ ở bên phải xác nhận các bản phân phối này về cơ bản là giống hệt nhau.(xi,vi),i=1,,4) vi

Đây là Rmã đã tạo ra cốt truyện.

n <- 4
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
par(mfrow=c(1,3))
#
# Simulate spherical bivariate normal samples of size n each.
#
x <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
y <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` and `y`.
#
sim <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], y[,i]))
hist(sim)
#
# Specify *any* fixed vector in place of `y`.
#
v <- c(n-1, rep(-1, n-1)) # The case in question
v <- rnorm(n)             # Can use anything you want
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` with `v`.
#
sim2 <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], v))
hist(sim2)
#
# Compare the two distributions.
#
qqplot(sim, sim2, main="QQ Plot")

Tài liệu tham khảo

RA Fisher, Phân phối tần số của các giá trị của hệ số tương quan trong các mẫu từ một dân số lớn vô hạn . Biometrika , 10 , 507. Xem Phần 3. (Trích dẫn trong Lý thuyết thống kê nâng cao của Kendall , Ed lần thứ 5, phần 16.24.)


Các liên kết đến tài liệu tham khảo bị hỏng.
Sextus Empiricus

@Martijn Cảm ơn bạn đã kiểm tra. Tôi hiểu ý của bạn - liên kết hoạt động, nhưng nó không đi đến bất cứ điều gì có liên quan! Tôi đã sửa nó lên.
whuber

4

P(Xc)

E[I(,c)(X1)]=P(X1c)Z1=X¯Z2=S2P(Xc)

ψ(z1,z2)=E[I(,c)(X1)|z1,z2]=I(,c)fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)dx1

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)fX1(x1)fZ1,Z2(z1,z2)

The denominator fZ1,Z2(z1,z2)=fZ1(z1)fZ2(z2) can be written in closed form because Z1N(μ,σ2n), Z2Γ(n12,2σ2n1) are independent of each other.

To get the closed form of numerator, we can adopt these statistics:

W1=i=2nXin1
W2=i=2nXi2(n1)W12(n1)1

which is the mean and the sample variance of X2,X3,...,Xn and they are independent of each other and also independent of X1. We can express these in terms of Z1,Z2.

W1=nZ1X1n1, W2=(n1)Z2+nZ12X12(n1)W12n2

We can use transformation while X1=x1,

fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)=nn2fW1,W2(w1,w2)=nn2fW1(w1)fW2(w2)

Since W1N(μ,σ2n1), W2Γ(n22,2σ2n2) we can get the closed form of this. Note that this holds only for w20 which restricts x1 to z1n1nz2x1z1+n1nz2.

So put them all together, exponential terms would disappear and you'd get,

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)nz2(n1)(1(n(x1z1)z2(n1))2)
where z1n1nz2x1z1+n1nz2 and zero elsewhere.

From this,at this point, we can get the pdf of Z=X1z1z2 using transformation.

By the way, the MVUE would be like this :

ψ(z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)π2θccosn3θdθ
while θc=sin1(n(cz1)(n1)z1) and would be 1 if cz1+n1nz2

I am not a native English speaker and there could be some awkward sentences. I am studying statistics by myself with text book introduction to mathmatical statistics by Hogg. So there could be some grammatical or mathmatical conceptual mistakes. It would be appreciated if someone correct them.

Thank you for reading.

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.