Hệ số tương quan cho phân bố đồng đều trên hình elip

Tôi hiện đang đọc một bài báo tuyên bố rằng hệ số tương quan cho phân bố đồng đều ở bên trong hình elip

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} constant & if (x, y) inside the ellipse \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

được đưa ra bởi

ρ = \sqrt{1 - {(\frac{h}{H})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

trong đó $h$ và $H$ là các chiều cao thẳng đứng ở tâm và tại các cực trị tương ứng.

Tác giả không tiết lộ làm thế nào anh ta đạt được điều đó và thay vào đó chỉ nói rằng chúng ta cần thay đổi quy mô, xoay, dịch và tất nhiên là tích hợp. Tôi rất muốn lấy lại các bước của anh ấy nhưng tôi hơi lạc lõng với tất cả những điều đó. Do đó tôi sẽ biết ơn một số gợi ý.

Cảm ơn bạn trước.

Oh, và cho các hồ sơ

Châtillon, Guy. "Các quy tắc bóng cho một ước tính sơ bộ của hệ số tương quan." Thống kê người Mỹ 38.1 (1984): 58-60

Nó khá thú vị.

— JohnK
nguồn

Bạn có thể viết một biểu thức cho hình elip không? Các "height ở một thái cực" không có ý nghĩa đối với một hình elip tiêu chuẩn: vì nó có chiều cao tại các thái cực. Thật vậy, nếu được phân bố đồng đều ở bên trong hình elip tiêu chuẩn, thì .

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

0

$0$

(X, Y)

$(X,Y)$

ρ = 0

$\rho = 0$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Vâng, tôi đã thử trường hợp tiêu chuẩn và tính toán , không có vấn đề gì ở đó. Còn những trường hợp khác thì sao, nơi bạn cần chia tỷ lệ, xoay vv?

ρ = 0

$\rho = 0$

— JohnK

Toàn bộ hoạt động xuất hiện sai về cơ bản. Phần "thay đổi quy mô" phá hủy tính đồng nhất. Một phân phối đồng đều thực sự đạt được hoặc là phân phối giới hạn trong các bộ đệm hẹp (Euclide) của đường cong hoặc được thống nhất bởi arclength. Trong cả hai trường hợp, hằng số chuẩn hóa là một hàm elip hoàn chỉnh và có thể sẽ không đơn giản hóa thành biểu thức được đưa ra ở đây. Tôi không chắc và nghĩa là gì, nhưng - như một ví dụ - hệ số tương quan cho một hình elip với trục chính gấp đôi trục nhỏ, nghiêng một góc , sẽ là .

h

$h$

H

$H$

π / 6

$\pi/6$

0.78004

$0.78004$

— whuber

@whuber Tôi đã bao gồm một con số từ bài báo giải thích và cho điều gì, tôi hy vọng rằng điều này làm cho nó rõ ràng hơn.

h

$h$

H

$H$

— JohnK

Nếu bạn muốn có một câu trả lời đầy đủ, đầy đủ, thì bạn sẽ tìm thấy nó trong bài viết của tôi tại stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Xét cho cùng, khi hình elip là một vòng tròn, đồng phục (rõ ràng) đối xứng tròn, vì vậy mọi thứ trong câu trả lời đó đều được áp dụng trực tiếp. Cụ thể, bằng cách xem hình elip không phải là hình xoay của hình elip nằm ngang, mà là một phép biến đổi nghiêng, công thức cho trở nên rõ ràng, bởi vì (sử dụng ký hiệu trong phần "Cách tạo Ellipses").

ρ

$\rho$

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$

— whuber

Đặt được phân bố đồng đều ở bên trong hình elip trong đó và là nửa các trục của hình elip. Sau đó, và có mật độ cận biên và dễ dàng thấy rằng . Cũng thế, $(X,Y)$

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} f_{X} (x) & = \frac{2}{π a^{2}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} 1_{- a, a} (x), \\ f_{X} (x) & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - y^{2}} 1_{- b, b} (y), \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$

\begin{aligned} σ_{X}^{2} = E [X^{2}] & = \frac{2}{π a^{2}} \int_{a}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π a^{2}} \times a^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ (3 / 2) Γ (3 / 2)}{Γ (3)} \\ = \frac{a^{2}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$ và tương tự, . Cuối cùng, và là các biến ngẫu nhiên không tương quan .

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$

X

$X$

Y

$Y$

Hãy là phép chuyển đổi xoay được áp dụng cho . Sau đó, được phân bố đồng đều ở bên trong hình elip có trục không trùng với trục và . Tuy nhiên, thật dễ dàng để xác minh rằng và là các biến ngẫu nhiên có nghĩa là 0 và phương sai của chúng là Hơn nữa,

\begin{aligned} U & = X \cos θ - Y \sin θ \\ V & = X \sin θ + Y \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$

(X, Y)

$(X,Y)$

(U, V)

$(U,V)$

u

$u$

v

$v$

U

$U$

V

$V$

\begin{aligned} σ_{U}^{2} & = \frac{a^{2} \cos^{2} θ + b^{2} \sin^{2} θ}{4} \\ σ_{V}^{2} & = \frac{a^{2} \sin^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$

cov (U, V) = (σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) \sin θ \cos θ = \frac{a^{2} - b^{2}}{8} \sin 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$ từ đó chúng ta có thể nhận được giá trị của .

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$

Bây giờ, hình elip trên có phần bên trong được phân bố đồng đều có phương trình $(U,V)$

\frac{(u \cos θ + v \sin θ)^{2}}{a^{2}} + \frac{(- u \sin θ + v \cos θ)^{2}}{b^{2}} = 1,

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$ nghĩa là, cũng có thể được biểu thị dưới dạng Đặt in cho . trong khi sự khác biệt ngầm định của đối với đưa ra

(\frac{\cos^{2} θ}{a^{2}} + \frac{\sin^{2} θ}{b^{2}}) u^{2} + (\frac{\sin^{2} θ}{a^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{b^{2}}) v^{2} + ((\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}) \sin 2 θ) u v = 1,

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$

\begin{matrix} (1) & σ_{V}^{2} \cdot u^{2} + σ_{U}^{2} \cdot v^{2} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot u v = \frac{a^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$

u = 0

$u = 0$

(1)

$(1)$

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$

(1)

$(1)$

u

$u$

σ_{V}^{2} \cdot 2 u + σ_{U}^{2} \cdot 2 v \frac{d v}{d u} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot (v + u \frac{d v}{d u}) = 0,

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$ nghĩa là tiếp tuyến của hình elip nằm ngang tại hai điểm trên hình elip mà Giá trị của có thể được tìm ra từ điều này, và sẽ (trong trường hợp không chắc là tôi đã không phạm sai lầm khi thực hiện các phép tính ở trên) dẫn đến kết quả mong muốn.

(1)

$(1)$

(u, v)

$(u,v)$

ρ_{U, V} σ_{U} \cdot v = σ_{v} \cdot u .

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$

H

$H$

— Dilip Sarwate
nguồn

Đó là một ma trận xoay trực giao thích hợp, cảm ơn bạn.

— JohnK