Tỷ lệ đơn giản

Tôi đang gặp một số rắc rối trong việc hiểu tỷ lệ cược, và tôi muốn chỉ là một lời giải thích cơ bản cho cách giải thích chúng.

Tôi đã tìm thấy nhiều bài viết liên quan đến tỷ lệ cược nhưng hầu hết chúng phức tạp hơn những gì tôi đang cố gắng hiểu. Dưới đây là một ví dụ về cách tôi diễn giải tỷ lệ cược: nếu tỷ lệ cược của một sự kiện xảy ra là 3 trên 1, thì sự kiện đó sẽ xảy ra 3 lần cho mỗi 1 lần nó không xảy ra. Tôi không biết cách giải thích này sẽ đúng. Vì vậy, bất kỳ hướng dẫn và nhiều ví dụ về giải thích tỷ lệ cược sẽ được đánh giá rất cao.

Trên một chủ đề khác, có một câu trả lời rộng hơn nhiều bởi @gung cũng liên quan đến các vấn đề kỹ thuật liên quan như tỷ lệ chênh lệch, nhưng tôi sẽ đi sâu vào chủ đề: cách giải thích tỷ lệ cược, và đặc biệt là công thức " $a$ to $b$ ". Là một câu hỏi của người mới bắt đầu, đáng để suy nghĩ về "tỷ lệ cược" được thể hiện như thế nào trong lời nói hàng ngày (đặc biệt là theo cách nói cá cược) cũng như tỷ lệ cược có ý nghĩa gì với một nhà thống kê, bởi vì sự khác biệt giữa hai người là vấn đề đối với người học.

Đối với tỷ lệ cược như được thể hiện bởi một nhà thống kê , sự tranh chấp của bạn là chính xác. Giả sử một túi chứa bốn mã thông báo, trong đó ba mã là $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$ và một là $\color{brown}{\text{brown}}$ và một mã thông báo được chọn ngẫu nhiên. Các khả năng rằng các dấu hiệu được lựa chọn là aquamarine là 3 trong số 4, tức là $\frac{3}{4}$ , thường đọc "3 trong 4". Với kết quả có khả năng như nhau, tỷ lệ cược cho aquamarine sẽ được tính bằng số kết quả có lợi (3) chia cho số kết quả không thuận lợi (1), đó là $\frac{3}{1} = 3$ , thường được đọc là $\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$hoặc chỉ là số "ba". Tổng quát hơn, bạn có thể lấy phần "kết quả thuận lợi trên kết quả không thuận lợi" và hủy (chia) cả tử số và mẫu số cho tổng số kết quả, để có được "xác suất của kết quả thuận lợi so với xác suất của kết quả không thuận lợi", từ đó một đại số nhỏ cho:

$$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$$

Các tỷ lệ cược được thể hiện bởi một nhà cái cá cược thường được trích dẫn là "tỷ lệ cược" hoặc "tỷ lệ cược" và cách chúng được viết dường như là một nguyên nhân phổ biến của sự nhầm lẫn. Trong cái gọi là tỷ lệ cược Anh , tỷ lệ cược phân số hoặc tỷ lệ cược truyền thống , tỷ lệ cược cho aquamarine sẽ được viết "3/1 trên" hoặc "3-1 trên", đọc là . * Đối với một người đánh bạc, thực tế đây là "tỷ lệ cược" cho thấy rằng cổ phần £ 3 trên aquamarine sẽ trả lại lợi nhuận £ 1 nếu thành công (họ thực sự nhận được £ 4, trong đó £ 3 chỉ đơn giản là sự trở lại của cổ phần ban đầu) trong khi đặt cược thất bại dẫn đến việc mất cổ phần £ 3. Chúng ta có thể thấy đây là " tỷ lệ cược công bằng$\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$"bởi vì con bạc có ba cơ hội kiếm được 1 bảng và một cơ hội thua 3 bảng, do đó, trung bình không có lãi hoặc lỗ dự kiến. Cho đến nay, rất ít sự khác biệt:" tỷ lệ cược "chỉ đơn giản là" tỷ lệ cược có lợi " bởi các nhà thống kê.

Đối với các sự kiện có xác suất 50%, chẳng hạn như ném đầu vào đồng xu - hai kết quả có khả năng thành công hoặc thất bại như nhau - một nhà thống kê sẽ nói tỷ lệ cược là "một đối một", hoặc đơn giản là trong khi một nhà cái cá cược công bằng sẽ đưa ra tỷ lệ cược 1/1 (đọc là "evens"). Vì vậy, không có vấn đề ở đây; tuy nhiên, khi xác suất giảm xuống dưới 50%, chúng tôi thấy nhà cái cá cược tiếp tục trích dẫn số lớn hơn trong tỷ lệ trước số nhỏ hơn.$\frac{1}{1}$$1$

Hãy xem xét một cuộc đua trong đó cả bốn con ngựa (giả sử F oinavon , G regalach , M trên Mome và T ipperary Tim ) đều có khả năng chiến thắng như nhau: về mặt xác suất , chúng ta sẽ nói rằng mỗi con có tỷ lệ "1 trên 4" hoặc 0,25 cơ hội chiến thắng. Tỷ lệ cược công bằng sẽ là bao nhiêu khi đặt cược vào, nói, foinavon? Chỉ có một kết quả thuận lợi (chiến thắng cho F) so với ba kết quả không thuận lợi (chiến thắng cho G, M hoặc T), vì vậy một nhà thống kê sẽ mô tả tỷ lệ cược là "1 đến 3", hoặc bằng số là$\frac{1}{3}$. Tuy nhiên, cá cược bằng tỷ lệ cược Anh sẽ thấy tỷ lệ cược là "3-1 chống lại", và viết chúng một cách đơn giản "3/1" hoặc 3-1" (cả đọc '00:57'; các 'chống lại' là ngầm và không nói rõ ) Đối với một người đánh bạc, "tỷ lệ cược" có nghĩa là cổ phần £ 1 sẽ trả lại lợi nhuận £ 3 nếu thành công (họ thực sự sẽ nhận được £ 4, nhưng £ 1 trong số này là tiền lãi của cổ phần ban đầu) trong khi nếu không thành công mất cổ phần £ 1. Người đánh bạc có ba cơ hội mất £ 1 và một cơ hội kiếm được £ 3, do đó, một lần nữa không có lãi / lỗ dự kiến ​​và tỷ lệ cược là công bằng. Đáng buồn thay, "tỷ lệ cược" (hình thức tỷ lệ cược thông thường ) không tương ứng với "tỷ lệ cược ủng hộ" của một thống kê.

Mỗi con ngựa trong cuộc đua giả thuyết của chúng tôi đã đạt được sự nổi tiếng bởi một lần giành Grand National mâu thuẫn của 100/1: vì đây là độ cao ( "dài") tỷ lệ cược chống lại , họ đã " cú sút xa " coi là cực kỳ khó có khả năng giành chiến thắng, và ủng hộ của họ đã hào phóng thưởng với lợi nhuận £ 100 mỗi pound đặt cược. Nếu chúng ta giả vờ rằng tỷ lệ cược của các nhà cái là tỷ lệ cược công bằng (sẽ bỏ qua phần vượt quá của nhà cái hoặc "vig" ), thì có cảm giác rằng có 100 con ngựa có thể thua cho mỗi cách con ngựa có thể thắng, vì vậy xác suất ngụ ý thành công là . Ngược lại, nếu một nhà thống kê tuyên bố một sự kiện có tỷ lệ "100 đến 1",$\frac{1}{101}$(với xác suất ).$\frac{100}{101}$

Nếu bất kỳ giáo dân nào trong khán giả của bạn đến từ một quốc gia nơi các nhà cái cá cược được sử dụng và thường xuyên được trích dẫn trên các phương tiện truyền thông (ví dụ: "Jeremy Corbyn đặt tỷ lệ cược 100-1 để trở thành lãnh đạo đảng Lao động của Vương quốc Anh", The Guardian , 11 tháng 9 2015; "11 triệu đến một: bê bốn con sinh ra ở Nam Úc", Sydney Morning Herald , ngày 30 tháng 7 năm 2015) sau đó trích dẫn tỷ lệ cược ở dạng " đến " gần như chắc chắn gây nhầm lẫn.$a$$b$

Tôi đã thấy mọi người thử điều này, có lẽ với niềm tin rằng "công chúng nói chung quen thuộc với tỷ lệ cược hơn xác suất", nhưng các nhà thống kê khôn ngoan đối với nhà cái cá cược, và do đó, người chưa bao giờ đặt cược vào cuộc sống của họ, có thể bị bắt bởi ngạc nhiên rằng quan niệm phổ biến về tỷ lệ cược là "vòng sai". Nếu sự nhầm lẫn này được cho là vượt trội hơn các lợi thế của công thức " đến " (đặc biệt là nó làm cho tỷ lệ cược rõ ràng biểu thị tỷ lệ thuận lợi cho bất lợi) thì có thể tốt hơn là biểu thị "tỷ lệ cược thống kê" dưới dạng một số duy nhất, để phân biệt chúng từ tỷ lệ cược phân số của một người cá cược. Trước khi trình bày tỷ lệ cược thống kê cho một đối tượng như vậy, ít nhất tôi sẽ làm cho họ biết về các điểm sau:$a$$b$

• Tỷ lệ cược của một thống kê tương ứng với "tỷ lệ cược" của nhà cái cá cược. Nếu bạn đã quen với "tỷ lệ cược chống lại", tỷ lệ cược của một thống kê có thể "sai đường vòng". Ví dụ: "10 đến 1" chỉ ra một sự kiện rất có thể xảy ra và "1000 đến 1" là một sự kiện cực kỳ có khả năng!
• Một nhà thống kê không cần đặt số cao hơn lên trước, do đó, tỷ lệ cược như "2 đến 3" có thể được sử dụng để chỉ ra "2 cơ hội thành công cho 3 cơ hội thất bại" (nghĩa là sau nhiều thử nghiệm, tỷ lệ thành công cho thất bại nên ở khoảng 2 : 3 và do đó xác suất thành công là ).$\frac{2}{5}$
• Mặc dù các nhà cái thích đưa ra tỷ lệ cược theo tỷ lệ của các số nguyên, các nhà thống kê ** thường sẽ đơn giản hóa tỷ lệ cược của họ thành dạng "một cái gì đó", ngay cả khi điều này đưa ra một số thập phân (ví dụ: "5 đến 2" trở thành "2,5 đến 1") .
• Một nhà thống kê có thể bỏ "một" và trích dẫn một số duy nhất (ví dụ: tỷ lệ cược 3,5 có nghĩa là "3,5 đến 1" hoặc "7 đến 2", do đó, tỷ lệ thành công trong thất bại dài hạn được dự kiến ​​là 7: 2, từ đó xác suất thành công có thể dễ dàng được nhìn thấy là ).$\frac{7}{9}$
• Trên thang đo này, tỷ lệ bằng 0 đại diện cho một điều không thể; tỷ lệ cược từ 0 đến 1 cho thấy cơ hội ít hơn; tỷ lệ cược 1 cho thấy cơ hội 50%; tỷ lệ cược trên 1 cho thấy sự kiện có nhiều khả năng hơn không; một sự kiện nào đó sẽ có tỷ lệ cược vô hạn.

Về mặt toán học, chúng ta có

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$$

Ngay cả điều này có thể không đủ để tránh nhầm lẫn. Tỷ lệ cược thập phân , còn được gọi là tỷ lệ cược lục địa hoặc tỷ lệ cược châu Âu , đã trở nên phổ biến hơn trong kỷ nguyên cờ bạc trực tuyến, đặc biệt đối với cá cược trong trò chơi và trao đổi cá cược trong đó tỷ lệ cược phân đoạn khó có thể hiển thị những thay đổi nhỏ, nhanh chóng trong xác suất ngụ ý. Tỷ lệ cược châu Âu trích dẫn khoản thanh toán cho mỗi đơn vị đặt cược, bao gồm cả việc trả lại cổ phần . Đối với đặt cược bằng aquamarine, một cổ phần trị giá 3 bảng Anh kiếm được lợi nhuận là 1 bảng, do đó, mỗi bảng 1 bảng sẽ kiếm được lợi nhuận khoảng 0,33 bảng (trong khoản thanh toán 1,33 bảng). Do đó, tỷ lệ cược châu Âu cho aquamarine là khoảng2,00 4,00 tỷ lệ cược Châu Âu = $1.33$. Đối với trò tung đồng xu, một con bạc đặt cược £ 1 sẽ nhận được khoản thanh toán là £ 2 (nếu thành công) hoặc £ 0 nếu không, vì vậy tỷ lệ cược châu Âu là . Đối với đặt cược £ 1 cho Foinavon, một con bạc có tỷ lệ thắng là 4 bảng, vì vậy tỷ lệ cược châu Âu là . Bạn có thể nhận thấy rằng tỷ lệ cược châu Âu là đối ứng của xác suất thành công ngụ ý: để tỷ lệ cược công bằng trên cổ phần £ 1, khoản thanh toán dự kiến ​​(là xác suất thành công nhân với khoản thanh toán thắng) phải bằng £ 1 đặt cược, vì vậy khoản thanh toán chiến thắng phải là đối ứng của xác suất. Vì chúng tôi tìm thấy$2.00$$4.00$$\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$$

Chúng tôi cũng có thể đã suy luận điều này từ ghi chú (vì tỷ lệ cược châu Âu bao gồm cả việc trả lại tiền cược trong khoản thanh toán).$\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

Tỷ lệ cược châu Âu có một số lợi thế cho các con bạc. So sánh hai tỷ lệ cược phân số (thử 8/15 so với 4/7) liên quan đến những kỳ tích lớn hơn về số học tinh thần so với so sánh hai số thập phân. Các thay đổi nhỏ đối với xác suất ngụ ý hoạt động "trơn tru" trong một thập phân trong khi dạng của một phân số có thể phải thay đổi hoàn toàn vì mẫu số khác là bắt buộc. Tính toán khoản thanh toán từ một chiến thắng cũng đơn giản như nhân tỷ lệ cược với tỷ lệ cược châu Âu (ví dụ: tỷ lệ cược € 300 với tỷ lệ cược châu Âu là nhận được khoản thanh toán 450 euro, trong đó € 150 là lợi nhuận). Mối quan hệ qua lại với xác suất ngụ ý đặc biệt hữu ích khi phát hiện "cược giá trị": nếu một người đánh bạc tin rằng xác suất thành công thực sự của một lần đặt cược ở tỷ lệ cược châu Âu là lớn hơn đặt cược '$1.50$$6.00$$\frac{1}{6}$

$1.00$$2.00$$\infty$

$\$100$$\$300$$\$100$$\$100$$\$300$$\$100$

$$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$$

---

Tôi đánh giá cao phần lớn câu trả lời này liên quan đến cá cược và các khoản thanh toán thay vì thống kê, nhưng tôi thấy việc sử dụng "tỷ lệ cược" hàng ngày khác biệt rất nhiều so với định nghĩa kỹ thuật của thống kê, rằng so sánh kỹ lưỡng có thể giải quyết một số nhầm lẫn (cả hai đều không các con bạc kỹ thuật, và các nhà thống kê phi cờ bạc). Tất nhiên, có mối liên hệ lịch sử và triết học sâu sắc giữa cá cược và thống kê. Các vấn đề về điểm liên quan việc phân chia công bằng của nồi giải thưởng trong một trò chơi cờ bạc bị gián đoạn, và đã tạo ra cuộc thảo luận từ thời trung cổ. Khi Antoine Gombaud, chevalier de Méré đặt ra một phiên bản của vấn đề vào năm 1654, sự tương ứng tiếp theo của Blaise Pascal và Pierre de Fermatvề vấn đề đặt nền móng của lý thuyết xác suất. Gần đây, Frank Ramsey (vào những năm 1920) và Bruno de Finetti (vào những năm 1930) đã kiểm tra sự gắn kết của cá cược (liên quan đến hiện tượng đánh bạc của một cuốn sách Hà Lan ) như một sự biện minh cho xác suất Bayesian: nếu xác suất hoặc mức độ chủ quan của một đại lý niềm tin không tuân theo các tiên đề của xác suất , sau đó chúng không mạch lạc và một cuốn sách tiếng Hà Lan có thể được thực hiện để chống lại tác nhân, khiến chúng bị tổn thất nhất định. Từ điển bách khoa toàn thư Stanford có một bài viết về "lập luận sách Hà Lan" .

---

$*$

$**$