Phân phối

Giả sử có phân phối beta Beta và theo một bình phương chi với độ. Ngoài ra, chúng tôi giả định rằng và là độc lập. $X$ $(1,K-1)$ $Y$ $2K$ $X$ $Y$

Phân phối của sản phẩm $Z=XY$ .

Cập nhật
Nỗ lực của tôi:

\begin{aligned} f_{Z} & = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{| y |} f_{Y} (y) f_{X} (\frac{z}{y}) d y \\ = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} \frac{1}{y} y^{K - 1} e^{- y / 2} (1 - z / y)^{K - 2} d y \\ = \frac{1}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} \int_{0}^{+ \infty} e^{- y / 2} (y - z)^{K - 2} d y \\ = \frac{1}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} [- 2^{K - 1} e^{- z / 2} Γ (K - 1, \frac{y - z}{2})]_{0}^{\infty} \\ = \frac{2^{K - 1}}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} e^{- z / 2} Γ (K - 1, - z / 2) \end{aligned}

$\begin{align} f_Z &= \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{|y|}f_Y(y) f_X \left (\frac{z}{y} \right ) dy \\ &= \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} \frac{1}{y} y^{K-1} e^{-y/2} (1-z/y)^{K-2} dy \\ &= \frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)}\int_{0}^{+\infty} e^{-y/2} (y-z)^{K-2} dy \\ &=\frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} [-2^{K-1}e^{-z/2}\Gamma(K-1,\frac{y-z}{2})]_0^\infty \\ &= \frac{2^{K-1}}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} e^{-z/2} \Gamma(K-1,-z/2) \end{align}$

Nó có đúng không? nếu có, làm thế nào chúng ta gọi phân phối này?

— tam
nguồn

Nếu đây là bài tập về nhà hoặc tự học, vui lòng thêm thẻ thích hợp. Chúng tôi không (thường) giải quyết các vấn đề như vậy cho bạn, mà là giúp hướng dẫn bạn tự giải quyết, điều này nói chung sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết các vấn đề đó trong tương lai.

— jbowman

Không chắc chắn nhưng có lẽ đây là một số trợ giúp: en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_beta_distribution

Bạn đã thử tạo một biến thứ hai? Nói

? Sau đó, bạn có thể nhận phân phối chung của

và tích hợp

để nhận phân phối

của chúng .

W = X + Y

$W=X+Y$

W, Z

$W,Z$

W

$W$

Z

$Z$

Tôi không thấy nơi bạn đang sử dụng thực tế là hàm mật độ Beta bằng 0 trên phần bù của khoảng

[0, 1]

$[0,1]$

— whuber

@whuber Mình nghĩ mình thấy lỗi. Bạn có muốn cung cấp một câu trả lời đầy đủ hoặc tôi tự làm điều đó?

— tam

Câu trả lời:

Sau một số nhận xét có giá trị, tôi đã có thể tìm ra giải pháp:

Ta có và $f_X(x)=\frac{1}{B(1,K-1)} (1-x)^{K-2}$ . $f_Y(y)=\frac{1}{2^K \Gamma(K)} y^{K-1} e^{-y/2}$

Ngoài ra, chúng ta có . Do đó, nếu $0\le x\le 1$ , ta được $x=\frac{z}{y}$ mà ngụ ý rằng. $0 \le \frac{z}{y} \le 1$ $z\le y \le \infty$

Do đó: nơi bình đẳng cuối cùng nắm giữ kể từ

\begin{aligned} f_{Z} & = \int_{y = - \infty}^{y = + \infty} \frac{1}{| y |} f_{Y} (y) f_{X} (\frac{z}{y}) d y \\ = \int_{z}^{+ \infty} \frac{1}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} \frac{1}{y} y^{K - 1} e^{- y / 2} (1 - z / y)^{K - 2} d y \\ = \frac{1}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} \int_{z}^{+ \infty} e^{- y / 2} (y - z)^{K - 2} d y \\ = \frac{1}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} {[- 2^{K - 1} e^{- z / 2} Γ (K - 1, \frac{y - z}{2})]}_{z}^{\infty} \\ = \frac{2^{K - 1}}{B (1, K - 1) 2^{K} Γ (K)} e^{- z / 2} Γ (K - 1) \\ = \frac{1}{2} e^{- z / 2} \end{aligned}

$\begin{align} f_Z &= \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{|y|}f_Y(y) f_X \left (\frac{z}{y} \right ) dy \\ &= \int_{z}^{+\infty} \frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} \frac{1}{y} y^{K-1} e^{-y/2} (1-z/y)^{K-2} dy \\ &= \frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)}\int_{z}^{+\infty} e^{-y/2} (y-z)^{K-2} dy \\ &=\frac{1}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} \left[-2^{K-1}e^{-z/2}\Gamma(K-1,\frac{y-z}{2})\right]_z^\infty \\ &= \frac{2^{K-1}}{B(1,K-1)2^K \Gamma(K)} e^{-z/2} \Gamma(K-1) \\ &= \frac{1}{2} e^{-z/2} \end{align}$

B (1, K - 1) = \frac{Γ (1) Γ (K - 1)}{Γ (K)}

$B(1,K-1)=\frac{\Gamma(1)\Gamma(K-1)}{\Gamma(K)}$

Vì vậy, tuân theo phân bố hàm mũ của tham số $Z$ ; hoặc tương đương, . $\frac{1}{2}$ $Z \sim\chi_2^2$

— tam
nguồn

Có một giải pháp thống kê tự nhiên, dễ chịu cho vấn đề này đối với các giá trị tích phân của , cho thấy sản phẩm có phân phối . Nó chỉ dựa trên các mối quan hệ nổi tiếng, dễ dàng thiết lập giữa các chức năng của các biến thông thường tiêu chuẩn. $K$ $\chi^2(2)$

Khi là tích phân, phân phối Beta phát sinh theo tỷ lệ $K$ $(1,K-1)$ trong đóvàđộc lập,cóphân phốivàcóphân phối. (Xembài viết Wikipedia về bản phân phối Betachẳng hạn.)

\frac{X}{X + Z}

$\frac{X}{X+Z}$

X

$X$

Z

$Z$

X

$X$

χ^{2} (2)

$\chi^2(2)$

Z

$Z$

χ^{2} (2 K - 2)

$\chi^2(2K-2)$

Mọi phân phối là tổng bình phương của chuẩn độc lập. Do đó, được phân phối theo độ dài bình phương của vectơ với phân bố đa chuẩn tiêu chuẩn trong và là độ dài bình phương của hai thành phần đầu tiên khi vectơ đó được chiếu thẳng tới quả cầu đơn vị $\chi^2(n)$ $n$ $X+Z$ $2 + 2K-2 = 2K$ $\mathbb{R}^{2K}$ $X/(X+Z)$ . $S^{2K-1}$

Hình chiếu của một -vector đa tiêu chuẩn lên quả cầu đơn vị có phân bố đồng đều vì phân bố đa cực đối xứng hình cầu. . phân phối chuẩn nhiều biến. Tôi đã minh họa điều này cho trường hợp tại https://stats.stackexchange.com/a/7984 ). Trong thực tế, đối xứng hình cầu ngay lập tức cho thấy phân bố này là điều kiện thống nhất trên chiều dài của vectơ gốc. Tỷ lệ $n$ $n=3$ do đókhông phụthuộc vào độ dài. $X/(X+Z)$

Có gì tất cả điều này có nghĩa là nhân với bởi một độc lập biến tạo ra một biến với sự phân bố tương tự như nhân với ; để dí dỏm, phân phối của , có phân phối . $X/(X+Z)$ $\chi^2(2K)$ $Y$ $X/(X+Z)$ $X+Z$ $X$ $\chi^2(2)$

— whuber
nguồn

Tương tự rất tốt đẹp! Tôi cảm thấy một chút không chắc chắn về đoạn cuối cùng mặc dù là đơn giản hóa chỉ xảy ra bởi vì

là trên cả hai mặt của nhân, mà có thể không làm việc cho một độc lập

X + Z

$X+Z$

χ^{2} (2 K)

$\chi^2(2K)$

— Tây An

Nhưng sau khi suy ngẫm thêm về Paris métro, tôi nhận ra rằng vì

và

là độc lập, sử dụng

hoặc sử dụng

dẫn đến cùng một phân phối. Chúc mừng!

X / (X + Z)

$X/(X+Z)$

(X + Z)

$(X+Z)$

(X + Z) \times X / (X + Z)

$(X+Z)\times X/(X+Z)$

Y \times X / (X + Z)

$Y \times X/(X+Z)$

— Tây An

phụ lục: các lập luận đi cho người không số nguyên K là tốt, nếu một định nghĩa một

như một Gamma

χ_{q}^{2}

$\chi^2_q$

Ga (q / 2, 1 / 2)

$\text{Ga}(q/2,1/2)$

— Tây An

@ Xi'an Cảm ơn bạn cho những ý kiến tiết lộ. Thật vậy, một cách để khai thác sự công nhận rằng

và

là độc lập là theo đuổi hàm ý rằng các hàm mật độ của chúng sẽ có thể tách rời: và ý tưởng đó được áp dụng mà không cần sửa đổi cho trường hợp chung của

không tách rời . Ngay cả đối với những người thích tính toán tích chập

trực tiếp, những hiểu biết thống kê này cho thấy một cách đơn giản và hiệu quả để tiến hành tích hợp bằng cách thay đổi các biến thích hợp.

X / (X + Z)

$X/(X+Z)$

X + Z

$X+Z$

K

$K$

X Y

$XY$

— whuber

Tôi rất phản đối chiến thuật thường được sử dụng là tìm mật độ của bằng cách tính toán mật độ đầu tiên của và (hoặc ) vì nó dễ sử dụng Jacobian, và sau đó lấy như một mật độ cận biên (xem câu trả lời của Rusty Statistician). Dễ dàng hơn nhiều để tìm CDF của trực tiếp và sau đó phân biệt để tìm pdf. Đây là cách tiếp cận được sử dụng dưới đây. $Z = g(X,Y)$ $Z$ $X$ $Y$ $f_Z$ $Z$

và là các biến ngẫu nhiên độc lập có mật độ và $X$ $Y$ $f_X(x) = (K-1)(1-x)^{K-2}\mathbf 1_{(0,1)}(x)$ . Khi đó, với, chúng ta có, $f_Y(y) = \frac{1}{2^K (K-1)!} y^{K-1} e^{-y/2}\mathbf 1_{(0,\infty)}(y)$ $Z = XY$ $z > 0$

\begin{aligned} P {Z > z} & = P {X Y > z} \\ = \int_{y = z}^{\infty} \frac{1}{2^{K} (K - 1)!} y^{K - 1} e^{- y / 2} [\int_{x = \frac{z}{y}}^{1} (K - 1) (1 - x)^{K - 2} d x] d y \\ = \int_{y = z}^{\infty} \frac{1}{2^{K} (K - 1)!} y^{K - 1} e^{- y / 2} {(1 - \frac{z}{y})}^{K - 1} d y \\ = \int_{y = z}^{\infty} \frac{1}{2^{K} (K - 1)!} (y - z)^{K - 1} e^{- y / 2} d y \\ = e^{- z / 2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{K} (K - 1)!} t^{K - 1} e^{- t / 2} d y on setting y - z = t \\ = e^{- z / 2} on noting that the integral is thatof a Gamma pdf \end{aligned}

$\begin{align} P\{Z > z\} &= P\{XY > z\}\\ &= \int_{y=z}^\infty \frac{1}{2^K (K-1)!} y^{K-1} e^{-y/2} \left[\int_{x=\frac{z}{y}}^1 (K-1)(1-x)^{K-2}\,\mathrm dx \right] \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=z}^\infty \frac{1}{2^K (K-1)!} y^{K-1} e^{-y/2} \left(1-\frac{z}{y}\right)^{K-1}\,\mathrm dy\\ &= \int_{y=z}^\infty \frac{1}{2^K (K-1)!} (y-z)^{K-1} e^{-y/2} \,\mathrm dy\\ &= e^{-z/2}\int_0^\infty \frac{1}{2^K (K-1)!}t^{K-1} e^{-t/2} \,\mathrm dy~~~\scriptstyle{\text{on setting}~y-z = t}\\ &= e^{-z/2}\qquad\scriptstyle{\text{on noting that the integral is that of a Gamma pdf}}\\ \end{align}$

Người ta biết rằng nếu , thì . Nó sau đó có mật độ hàm mũ với tham số $V \sim \mathsf{Exponential}(\lambda)$ $P\{V > v\} = e^{-\lambda v}$ $Z = XY$ , cũng làphân phối. $\lambda = \frac 12$ $\chi^2(2)$

— Dilip Sarwate
nguồn