Xác suất thất bại

Một cấu trúc sẽ thất bại nếu chịu tải lớn hơn sức cản của chính nó:

failure := load > resistance

Chúng ta có thể giả định rằng tải và điện trở là độc lập.

Bằng các hàm mật độ xác suất (pdf) và các hàm mật độ tích lũy (cdf) của tải và của điện trở, có đúng không khi nói rằng xác suất thất bại có thể được tính bằng: ?

p_{f a i l u r e} = \int_{- \infty}^{\infty} P D F_{l o a d} * C D F_{r e s i s t a n c e}

$p_{failure} = \int_{-\infty}^\infty PDF_{load} * CDF_{resistance}$

Tôi đang cố gắng tự dạy mình các số liệu thống kê, nhưng đôi khi không có tài liệu tham khảo tốt, thật khó để biết phải tìm gì. Nhân tiện, "công cụ" này sẽ được gọi là gì? Tôi chắc chắn có một tên thích hợp cho việc này.

— Raf
nguồn

Hai phương pháp được đề xuất dưới đây bởi Dilip Sarwate và SeanEaster đã thử nghiệm và so sánh. Thực hiện bằng cách sử dụng python scipy. Kết quả hoàn hảo. Về tài nguyên máy tính, có một sự khác biệt lớn: phương pháp tích chập mất khoảng 70 lần để chạy.

— Raf

Tôi nên đề cập rằng điều này sẽ chậm trong việc bạn giải quyết tích chập số được chỉnh sửa để phản ánh.

— Sean Easter

Câu trả lời:

Để cho $X$ biểu thị sự kháng cự và $Y$ tải trọng. Sau đó,

\begin{aligned} P {Y > X} & = = \int_{y = = - \infty}^{\infty} \int_{x = = - \infty}^{y} f_{X, Y} (x, y) d x d y \\ = = \int_{y = = - \infty}^{\infty} \int_{x = = - \infty}^{y} f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y & bởi vì X và Y độc lập \\ = = \int_{y = = - \infty}^{\infty} f_{Y} (y) [\int_{x = = - \infty}^{y} f_{X} (x) d x] d y \\ = = \int_{y = = - \infty}^{\infty} f_{Y} (y) F_{X} (y) d y \\ đó là, p_{f một Tôi tôi bạn r e} & = = \int_{- \infty}^{\infty} P D F_{tôi o một d} \times C D F_{r e S Tôi S t một n c e} \end{aligned}

$\begin{align} P\{Y > X\} &= \int_{y=-\infty}^\infty \int_{x=-\infty}^y f_{X,Y}(x,y) \,\mathrm dx \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty \int_{x=-\infty}^y f_{X}(x)f_{Y}(y) \,\mathrm dx \,\mathrm dy & \scriptstyle{\text{because}~X~\text{and} ~Y~\text{are independent}}\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty f_{Y}(y)\left[ \int_{x=-\infty}^y f_{X}(x) \,\mathrm dx\right] \,\mathrm dy\\ &= \int_{y=-\infty}^\infty f_{Y}(y)F_{X}(y) \,\mathrm dy\\ \text{that is}, \qquad p_{failure} &= \int_{-\infty}^\infty PDF_{load} \times CDF_{resistance} \end{align}$ đó là công thức mà bạn đang hỏi về mà không cần phải lo lắng về kết quả, mối tương quan chéo, số phức và tương tự như trong câu trả lời của Sean Easter.

Như một vấn đề thực tế, $X$ và $Y$ có khả năng chỉ đảm nhận các giá trị không âm , trong trường hợp tích phân trên chỉ cần nằm trên đường thẳng dương.

— Dilip Sarwate
nguồn

Đẹp. Đó chính xác là cách tôi rút ra phương trình đó. Tôi không chắc liệu nó có đúng hay không, nếu có cách làm nghiêm ngặt hơn. Thuyết phục và tương quan chéo vẫn lảng tránh sự hiểu biết của tôi. Về tên miền, tôi thực sự đang đặt ngưỡng và chỉ tích hợp với mật độ không đáng kể.

— Raf

Khá đẹp! Thêm nó vào túi thủ thuật của tôi +1

— Sean Easter

Đọc lại, xác suất thất bại tương đương với xác suất resistance - loadnhỏ hơn 0. Những gì bạn đang tìm kiếm là sự phân phối của sự khác biệt của các biến ngẫu nhiên.

Vì đây là độc lập, bạn có thể sử dụng tích chập để giải quyết sự khác biệt của chúng. Nhưng nó được áp dụng cho mật độ, không phải mật độ tích lũy. Ngoài ra, tích chập tự nó là một tích phân vô hạn. Để cho $X$ đại diện cho tải, $Y$ Sức cản. Bạn muốn kết luận $p_{X}(-t)$ và $p_{Y}(t)$ , được gọi là tương quan chéo trong xử lý tín hiệu:

p_{Y - X} (τ) = = p_{x} (- τ) * p_{Y} (τ) = = \int_{- \infty}^{\infty} p_{X} (t) p_{Y} (τ + t) d t

$p_{Y-X}(\tau) = p_x(-\tau) \ast p_Y(\tau)= \int_{-\infty}^{\infty}p_{X}(t)p_{Y}(\tau + t)dt$

Nghiêm túc, tương quan chéo là tương đương với tích chập của $p_X^*(-\tau)$ và $p_Y(\tau)$ , trong đó dấu hoa thị là liên hợp phức tạp. Vì mật độ là giá trị thực, $p_X^*(-\tau) = p_X(-\tau)$ và không cần phải lo lắng.

Xác suất thất bại là xác suất chênh lệch nhỏ hơn 0, mà bạn có thể tìm thấy bằng cách tích hợp mật độ của chênh lệch lên đến 0: $\int_{-\infty}^0p_{Y-X}(\tau)d\tau$ . (Tức là CDF của sự khác biệt.) Bạn có thể thực hiện tất cả những điều này bằng số, nhưng bạn càng có thể làm phân tích, nó sẽ càng hiệu quả hơn.

— Phục sinh Sean
nguồn

Như bạn đã lưu ý, tích chập này sẽ cho hàm mật độ. Từ đó tôi không biết làm thế nào để có được

p_{f a i l u r e}

$p_{failure}$ , đó là một giá trị thực vì cả tải và điện trở đều được phân phối cố định.

— Raf

À, tôi nhận ra mình đã bỏ qua bước cuối cùng: tích hợp mật độ lên đến 0.

— Sean Easter

Nếu bạn tìm thấy thời gian để cập nhật câu trả lời của mình để bao gồm bước cuối cùng đó, bạn sẽ nhận được +1 từ tôi.

— Cá bạc

@Silverfish Đã chỉnh sửa, bây giờ bàn làm việc của tôi không còn là Lễ Tạ ơn tạm thời và máy tính để bàn của tôi lại có chỗ để ngồi :)

— Sean Easter

Có lẽ nếu bạn lưu ý rằng

τ

$\tau$ chỉ xảy ra trong đối số của

p_{Y}

$p_Y$ để hội nhập wrt

τ

$\tau$ mà bạn đề xuất kết thúc thay thế

p_{Y}

$p_Y$ bởi CDF của

Y

$Y$ đánh giá tại

t

$t$ , bạn sẽ kết thúc tại cùng một điểm mà câu trả lời của tôi đã làm.

— Dilip Sarwate