Nếu

Đây không phải là bài tập về nhà.

Đặt $X$ là biến ngẫu nhiên. Nếu $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ và $\text{Var}[X] = 0$ , liệu nó có tuân theo $\Pr\left(X = k\right) = 1$ không?

Theo trực giác, điều này có vẻ rõ ràng, nhưng tôi không chắc làm thế nào tôi sẽ chứng minh điều đó. Tôi biết một thực tế là từ các giả định, nó tuân theo $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Vậy

$$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$$ Điều này dường như không dẫn tôi đến bất cứ đâu. Tôi có thể thử $$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$$ Bây giờ kể từ $\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , nó cũng theo đó $\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ .

Nhưng nếu tôi sử dụng đẳng thức,

$$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$$ thì bản năng ruột của tôi là $\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , sao cho $X \equiv k$ .

Làm thế nào tôi biết điều này? Tôi cho rằng một bằng chứng bằng mâu thuẫn.

Nếu, ngược lại, $X \neq k$ cho tất cả $X$ , sau đó $(X-k)^2 > 0$ , và $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ cho tất cả $X$ . Chúng tôi có một mâu thuẫn, vì vậy $X \equiv k$ .

Là âm thanh bằng chứng của tôi - và nếu vậy, có lẽ có cách nào tốt hơn để chứng minh cho tuyên bố này?

Dưới đây là một bằng chứng lý thuyết đo lường để bổ sung cho những người khác, chỉ sử dụng các định nghĩa. Chúng tôi làm việc trên một không gian xác suất . Lưu ý rằng và xem xét tích phân . Giả sử rằng đối với một số , tồn tại sao cho trên và . Sau đó, xấp xỉ từ bên dưới, do đó, theo định nghĩa chuẩn của là tối cao của các tích phân của các hàm đơn giản xấp xỉ từ bên dưới, Y : = ( X - E X ) 2 ≥ 0 E Y : = ∫ Y ( ω ) P ( d ω ) ε > 0 Một ∈ F Y > ε Một P ( A ) > 0 ε tôi Một Y E Y E Y ≥ ∫ ε $(\Omega, \mathcal F, P)$$Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$$\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$$\epsilon>0$$A\in \mathcal F$$Y>\epsilon$$A$$P(A)>0$$\epsilon I_A$$Y$$\mathbb E Y$∀ ϵ > 0 P ( { ω : Y > ϵ } ) =

$$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$$ đó là một mâu thuẫn. Do đó, , . Làm xong.$\forall \epsilon>0$$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

Chứng minh điều này bằng mâu thuẫn. Theo định nghĩa của phương sai và các giả định của bạn, bạn có

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$$

nơi là mật độ xác suất của . Lưu ý rằng cả và đều không âm.X ( x - k ) 2 f ( x $f$$X$$(x-k)^2$$f(x)$

Bây giờ, nếu , thì$P(X=k)<1$

$$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$$

có biện pháp lớn hơn không, và . Nhưng sau đó$k\notin U$

$$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

(một số đối số có thể được bao gồm ở đây) và do đó$\epsilon$

$$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$$

và mâu thuẫn của bạn.

Là gì ? Có phải giống như như?X = $X \equiv k$$X = k$

ETA: Iirc,$X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Dù sao, rõ ràng là

$$(X-E[X])^2 \ge 0$$

Giả sử

$$E[X-E[X])^2] = 0$$

Sau đó

$$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$$

Bước cuối cùng tôi tin liên quan đến tính liên tục của xác suất ... hoặc những gì bạn đã làm (Bạn đã đúng).

---

Sự bất bình đẳng của Theresev cũng có :

$\forall \epsilon > 0$ ,

$$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$$

$$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$$

$$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$$

Tốt nói lại .

---

Btw tại sao vậy

$$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$$

?

Dường như với tôi rằng trong khiR H S = k $LHS = k$$RHS = k^2$