Thống kê nhị phân trước thống kê bayesian

Giả sử có phân phối nhị thức trong đó trước của tham số là đồng nhất. Làm thế nào tôi có thể có được phân phối sau của tham số?

Điều này rất đơn giản để thực hiện nếu bạn sử dụng phân phối trước đó được liên hợp với hàm khả năng Binomial. Một ưu tiên và khả năng được cho là liên hợp khi phân phối sau kết quả là cùng loại phân phối như trước. Điều này có nghĩa là nếu bạn có dữ liệu nhị thức, bạn có thể sử dụng bản beta trước để có bản beta sau. Các linh mục liên hợp không bắt buộc phải thực hiện cập nhật bayesian, nhưng chúng làm cho việc tính toán dễ dàng hơn rất nhiều vì vậy chúng rất tốt để sử dụng nếu bạn có thể.

Một phiên bản beta trước có hai tham số hình dạng xác định giao diện của nó và được ký hiệu là Beta (α,). Lấy ưu tiên của bạn cho p (xác suất thành công) là đồng nhất tương đương với việc sử dụng phân phối Beta với cả hai tham số được đặt thành 1.

Để có được một hậu thế, chỉ cần sử dụng quy tắc của Bayes:

Posterior Prior x Khả năng$\propto$

Hậu thế tỷ lệ thuận với khả năng nhân lên trước đó. Điều tuyệt vời khi làm việc với các bản phân phối liên hợp là việc cập nhật Bayes thực sự đơn giản như đại số cơ bản. Chúng tôi sử dụng công thức cho hàm khả năng nhị thức,

$Binomial Likelihood \propto p^x (1-p)^{n-x}$

Trong đó x là số lần thành công trong n thử nghiệm. và sau đó nhân nó với công thức cho phiên bản beta trước với các tham số hình dạng α và ,,

$Beta Prior \propto p^{\alpha-1} (1-p)^{\beta-1}$

để có được công thức sau đây cho sau

$Beta Posterior \propto p^x(1-p)^{n-x}p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}$

Bạn sẽ thấy rằng chúng tôi đang nhân các số hạng với nhau với cùng một cơ sở, điều đó có nghĩa là số mũ có thể được cộng lại với nhau. Vì vậy, công thức sau có thể được viết lại thành,

$Beta Posterior \propto p^xp^{\alpha-1}(1-p)^{n-x}(1-p)^{\beta-1}$

mà đơn giản hóa để,

$Beta Posterior \propto p^{x+\alpha-1}(1-p)^{n-x+\beta-1}$

Số tiền là: Đi trước, thêm những thành công và thất bại vào các số mũ khác nhau và voila. Nói cách khác, bạn lấy trước, Beta (α,) và thêm các thành công từ dữ liệu, x, vào và các thất bại, n - x, đến và có hậu thế của bạn, Beta ( + x, + nx).$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$

Khi bạn bắt đầu với Beta (1,1) như trước của bạn, hậu thế sẽ có hình dạng chính xác của khả năng Binomial và sau đó được viết Beta (1 + x, 1 + nx).

Đồ thị

Nếu bạn bắt đầu với đồng phục của mình trước đó, Beta (1,1), trông giống như thế này:

Nếu bạn có 13 thành công trong 25 thử nghiệm thì hậu thế mới là Beta (1 + 13,1 + 12) hoặc Beta (14,13), được hiển thị bên dưới:

Có mã để tạo các biểu đồ như thế này và các biểu đồ khác tại blog của tôi ở đây .