Định nghĩa toán học của Infill Asymptotics

Tôi đang viết một bài báo sử dụng tiệm cận không đối xứng và một trong những nhà phê bình của tôi đã yêu cầu tôi vui lòng cung cấp một định nghĩa toán học nghiêm ngặt về sự bất đối xứng của infill (nghĩa là với các ký hiệu và ký hiệu toán học).

Tôi dường như không thể tìm thấy bất kỳ điều gì trong tài liệu và hy vọng ai đó có thể chỉ cho tôi theo hướng của một số người hoặc cung cấp cho tôi một định nghĩa tự viết.

Nếu bạn không quen thuộc với tiệm cận không thấm (còn gọi là tiệm cận miền cố định) thì chúng là như sau: Không triệu chứng dựa trên các quan sát ngày càng dày đặc ở một số khu vực cố định và giới hạn khi số lượng của chúng tăng lên.

Nói cách khác, tiệm cận không đối xứng là nơi thu thập nhiều dữ liệu hơn bằng cách lấy mẫu dày đặc hơn trong một miền cố định.

Tôi đã xem Stein 1999 và Cressie 1993 nhưng không có gì nghiêm ngặt về mặt toán học.

---

Đây là đoạn trích dẫn từ bài báo của tôi.

Do đó, điều quan trọng là phải nhận ra loại tiệm cận mà chúng ta đang đối phó. Trong trường hợp của chúng tôi, sự không triệu chứng mà chúng tôi xử lý dựa trên các quan sát ngày càng dày đặc ở một số khu vực cố định và giới hạn khi số lượng của chúng tăng lên. Những loại tiệm cận này được gọi là tiệm cận miền cố định (Stein, 1999) hoặc tiệm cận không đối xứng (Cressie, 1993). Không có triệu chứng, trong đó thu thập được nhiều dữ liệu hơn bằng cách lấy mẫu dày đặc hơn trong một miền cố định, sẽ đóng vai trò chính trong việc giúp chúng tôi phát triển một đối số cho ...

Bất lực cần lưu ý, tôi đang lấy mẫu các quan sát của mình bằng cách sử dụng lấy mẫu hypercube Latin.

Dưới đây là những gì cuốn sách của Cressie nói về tiệm cận không đối xứng.

Định nghĩa về tiệm cận không đối xứng không đặc biệt hữu ích (về mặt kỹ thuật, nếu miền vẫn cố định và kích thước mẫu tăng, đó là tiệm cận không đối xứng. Nhưng hãy xem xét trường hợp bạn lấy mẫu trên mặt cắt từ 0 đến 1, lấy một mẫu trong 0,1 / 2, một mẫu khác trong 1 / 2,3 / 4, một mẫu khác trong khoảng 3/4, 7/8, v.v. Bạn sẽ có thể nói rất nhiều về các giá trị ở 1, nhưng sẽ không thể nói nhiều khác.)

$\epsilon$$\epsilon>0$$n\rightarrow\infty$

Đôi khi, thông tin không được đưa ra một cách rõ ràng, chỉ có một thiết kế được đưa ra. Ví dụ, trong bài báo của Lahiri (Về sự không nhất quán của các công cụ ước tính dựa trên dữ liệu không gian theo Infill Asymptotics), ông mô tả một thiết kế về cơ bản là một lưới 'bị xáo trộn' (một số ngẫu nhiên là mức độ nhỏ, nhưng thường dựa trên việc lấy mẫu theo hình chữ nhật các tiểu vùng) dày đặc không có triệu chứng trong miền cố định. Anh ta thu được kết quả (phổ biến cho các vấn đề về thông tin) rằng hầu hết các tham số variogram được ước tính không nhất quán.

Lahiri, Lee và Cressie (Về phân phối tiệm cận và hiệu quả tiệm cận của các công cụ ước lượng bình phương nhỏ nhất của các tham số variogram không gian, J.StatPlanInf 2002, tập 103, tr. 65-85) tương tự như nhau xem xét các lưới lọc tràn vào nhau một cách có hệ thống một mẫu dày đặc.

(Kết quả chung cho các mẫu dày đặc là do sự không triệu chứng của infill thực sự là một sự thực hiện duy nhất của một quá trình không gian, tham số duy nhất của phép đo biến thiên thực sự (siêu dân số) có thể được ước tính nhất quán là độ dốc bằng 0, nhưng dự đoán ngày càng tốt. )

Hãy bắt đầu với một định nghĩa về lấy mẫu Hypercube Latin, chỉ để làm cho mọi thứ hoàn toàn rõ ràng và thiết lập một ký hiệu. Sau đó, chúng ta có thể định nghĩa tiệm cận không đối xứng.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$$N \ge 1$$\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$$N^d$

$$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$$

$0 \le i_j \lt N$$j$

$N$$S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

$$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$$

$d$$2$$N$$S$$N$

$$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$$ của (vị trí, quan sát) giá trị.

---

Không triệu chứng

$t_N$$X(N)$$N$$\mathcal{B}$$t_N(X(N))$$N$

$$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$$

$N$