Người ta có thể tính toán tự động tương quan của ma trận hiệp phương sai được lấy mẫu bởi MCMC không?

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy mẫu ma trận hiệp phương sai từ phân phối Wishart của MCMC.

Ở mỗi lần lặp, chúng ta sẽ nhận được một ma trận mẫu mới từ bản phân phối Wishart. $S_i$

Câu hỏi : Đưa ra dấu vết có chứa tất cả các mẫu , tôi có thể vẽ biểu đồ tự động tương quan của các mẫu này không? $S_1,...S_n$

Tôi đã thấy ai đó sử dụng tự động tương quan của , nhưng tôi không tìm thấy sự biện minh nào. $\log(\det(S))$

bayesian autocorrelation mcmc

— alberto
nguồn

Cách tôi nhìn thấy, khi vẽ ma trận từ phân phối Wishart, bạn thực sự đang vẽ các biến ngẫu nhiên liên quan cụ thể liên quan cụ thể ở mỗi bước. Tức là chỉ có phần của bất kỳ [= phần tam giác trên] là ngẫu nhiên và đối xứng cung cấp cho bạn phần còn lại. Nói cách khác, tự động tương quan được xác định theo cặp cho bất kỳ hai mục nhập nào của vectơ hai chiều và cho bất kỳ . Tất nhiên, điều này khiến bạn có số lượng lớn $p \times p$ $S_1, S_2, \dots S_n$ $p\cdot (p+1)/2$ $\text{vech}(S_i)$ $S_i$ $p\cdot (p+1)/2$ $\text{vech}(S_i)$ $\text{vech}(S_{i-h})$ $h>0$ $(p\cdot (p+1)/2)^2$ univariate autocorrelations để theo dõi và vì các mục nhập của mỗi sẽ có ý nghĩa liên quan đến nhau (ví dụ: định nghĩa được đưa ra thông qua rút ra từ một bình thường ở đây: https://en.wikipedia.org/ wiki / Wishart_distribution ), tôi cũng có thể tưởng tượng rằng bạn loại bỏ thông tin bằng cách thực hiện phân tích đơn biến này. Điều đó đang được nói, các tự động tương quan đơn biến có thể được tính toán theo mục nhập bằng cách xác định đầu tiên Rõ ràng, $\text{vech}(S_i)$

\begin{aligned} \bar{S} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} vech (S_{i}) \\ \bar{S_{h}} & = \frac{1}{n - h} \sum_{i = h + 1}^{n} vech (S_{i}) vech (S_{i - h})^{T} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar{S} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{vech}(S_i) \\ \bar{S_h} & = \frac{1}{n-h}\sum_{i=h+1}^n \text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T. \end{align}$

\bar{S}

$\bar{S}$ là một công cụ ước tính tự nhiên cho phần tam giác trên của kỳ vọng (mà bạn có thể thay thế bằng kỳ vọng thực sự của phân phối Wishart nếu nó được biết đến với bạn). Tương tự, là một công cụ ước tính tự nhiên cho thời điểm . Cuối cùng, lưu ý rằng người ta đến ước tính tự tương quan cho thông qua Như đã đề cập trước đây, điều này mang đến cho bạn

{\bar{S}}_{h}

$\bar{S}_h$

E (vech (S_{i}) vech (S_{i - h})^{T})

$\mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T)$

\begin{aligned} Cov (vech (S_{i}) vech (S_{i - h})^{T}) = E (vech (S_{i}) vech (S_{i - h})^{T}) - E (vech (S_{i})) E (vech (S_{i}))^{T}, \end{aligned}

$\begin{align} \text{Cov}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) = \mathbb{E}(\text{vech}(S_i)\text{vech}(S_{i-h})^T) - \mathbb{E}(\text{vech}(S_i))\mathbb{E}(\text{vech}(S_i))^T, \end{align}$

A (h)

$A(h)$

vech (S_{i})

$\text{vech}(S_i)$

\begin{aligned} A (h) & = {\bar{S}}_{h} - \bar{S} {\bar{S}}^{T} . \end{aligned}

$\begin{align} A(h) &= \bar{S}_h - \bar{S}\bar{S}^T. \end{align}$

(p \cdot (p + 1) / 2)^{2}

$(p\cdot (p+1)/2)^2$ tự động tương quan của mỗi mục nhập ma trận Wishart với mỗi mục nhập ma trận Wishart khác. Nếu đó là quá nhiều thông tin để hiển thị, tôi nghĩ một chiến lược mà bạn có thể thực hiện là xác định chuỗi thời gian đơn biến tức là bạn chỉ cần lấy trung bình của giá trị tuyệt đối của tự động tương quan. Nếu bạn chỉ quan tâm đến tự động tích cực và đừng nghĩ rằng tự động tiêu cực là bất lợi, thì hãy tự lo Giá trị tuyệt đối. Tương tự, nếu bạn nghĩ rằng tự động tương quan dọc theo đường chéo là tồi tệ hơn so với đường chéo hoặc ngược lại, bạn có thể thêm trọng số

\begin{aligned} a (h) & = \frac{1}{(p \cdot (p + 1) / 2)^{2}} \sum_{i = 1}^{(p \cdot (p + 1) / 2} \sum_{j = 1}^{(p \cdot (p + 1) / 2} | A (h)_{i j} |, \end{aligned}

$\begin{align} a(h) &= \frac{1}{(p\cdot (p+1)/2)^2}\sum_{i=1}^{(p\cdot (p+1)/2}\sum_{j=1}^{(p\cdot (p+1)/2}|A(h)_{ij}|, \end{align}$

w_{i j}

$w_{ij}$ có tính đến 'chức năng mất' này.

— Jeremias K
nguồn