Các cấu trúc liên kết hoàn thành phân phối xác suất

Tôi đã phải vật lộn khá nhiều với việc điều hòa sự hiểu biết trực quan của tôi về phân phối xác suất với các thuộc tính kỳ lạ mà hầu hết các cấu trúc liên kết trên phân phối xác suất sở hữu.

Ví dụ, hãy xem xét một biến ngẫu nhiên hỗn hợp : chọn một Gaussian có tâm ở 0 với phương sai 1 và với xác suất , thêm vào kết quả. Một chuỗi các biến ngẫu nhiên như vậy sẽ hội tụ (yếu và tổng biến thiên) thành một Gaussian có tâm ở 0 với phương sai 1, nhưng giá trị trung bình của luôn là và phương sai hội tụ thành . Tôi thực sự không thích nói rằng chuỗi này hội tụ vì điều đó. $X_n$ $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

Tôi đã mất khá nhiều thời gian để nhớ mọi thứ tôi đã quên về cấu trúc liên kết, nhưng cuối cùng tôi đã tìm ra điều gì không thỏa mãn với tôi về các ví dụ như vậy: giới hạn của chuỗi không phải là phân phối thông thường. Trong ví dụ trên, giới hạn là một "Gaussian trung bình 1 và phương sai vô hạn" kỳ lạ. Theo thuật ngữ tô pô, tập hợp các phân phối xác suất không hoàn thành theo điểm yếu (và TV và tất cả các cấu trúc liên kết khác mà tôi đã xem).

Sau đó tôi phải đối mặt với câu hỏi sau:

có tồn tại một cấu trúc liên kết sao cho toàn bộ phân phối xác suất hoàn thành?
Nếu không, sự vắng mặt đó có phản ánh một tính chất thú vị của nhóm phân phối xác suất không? Hay chỉ là nhàm chán?

Lưu ý: Tôi đã đặt câu hỏi của mình về "phân phối xác suất". Chúng không thể bị đóng bởi vì chúng có thể hội tụ đến Dirac và những thứ tương tự không có pdf. Nhưng các biện pháp vẫn chưa kết thúc theo cấu trúc liên kết yếu nên câu hỏi của tôi vẫn còn

crossposted to mathoverflow /mathpro/226339/topology-for-which-the-ensemble-of-probability-measure-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

— Guillaume Dehaene
nguồn

Bạn phát hiện ra rằng tập hợp tất cả các phân phối xác suất là nhỏ gọn . Tôi nghĩ nhỏ gọn là từ bạn cần, không phải là sự hoàn chỉnh. Khái niệm liên quan đến sự nhỏ gọn trong thiết lập này thường được gọi là độ kín . Xem ví dụ thống kê.stackexchange.com/questions/180139/ từ

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Tôi nghĩ rằng đó là precompact thay vì do nhỏ gọn để lý Skorohod của.

— Henry.L

Chính xác thì vấn đề với ví dụ đã cho là gì? Có phải đó là sự hội tụ (yếu, nói) không bao hàm sự hội tụ của những khoảnh khắc? Tại sao nên làm thế? Và điều này có liên quan gì đến tính đầy đủ (giới hạn tồn tại trong ví dụ đã cho)?

— Michael

Nhìn vào câu hỏi từ góc độ thống kê hẹp hơn (vấn đề tôpô toán học chung là hợp lệ), thực tế là chuỗi các khoảnh khắc có thể không hội tụ đến các khoảnh khắc phân bố giới hạn là một hiện tượng nổi tiếng. Về nguyên tắc, điều này không tự động đặt ra nghi ngờ về sự tồn tại của phân phối giới hạn hành vi tốt.

Phân phối giới hạn của chuỗi trên là phân phối hoạt động tốt với các khoảnh khắc hữu hạn. Đó là chuỗi những khoảnh khắc không hội tụ. Nhưng đây là một trình tự khác nhau , một chuỗi bao gồm các hàm của các biến ngẫu nhiên của chúng tôi (tích phân, mật độ và như vậy), không phải là chuỗi các biến ngẫu nhiên mà chúng tôi quan tâm đến phân phối. $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

Làm thế nào để trả lời câu hỏi này?

— whuber

@whuber Vâng, câu trả lời của tôi nói rằng việc có tồn tại một cấu trúc liên kết như OP yêu cầu hay không, không có nhiều khác biệt so với quan điểm thống kê.

— Alecos Papadopoulos