Định lý của Slutsky vẫn còn hiệu lực khi cả hai chuỗi đều hội tụ đến một biến ngẫu nhiên không suy biến?

12

Tôi bối rối về một số chi tiết về định lý của Slutsky :

Đặt $\{X_n\}$ , $\{Y_n\}$ là hai chuỗi các phần tử ngẫu nhiên vô hướng / vectơ / ma trận.

Nếu $X_n$ hội tụ phân phối cho một phần tử ngẫu nhiên $X$ và $Y_n$ hội tụ xác suất đến một hằng số $c$ , thì
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ với điều kiện $c$ là khả nghịch, trong đó ${\xrightarrow {d}}$ biểu thị sự hội tụ trong phân phối.

Nếu cả hai chuỗi trong định lý Slutsky đều hội tụ đến một biến ngẫu nhiên không suy biến, thì định lý vẫn còn hiệu lực, và nếu không (ai đó có thể cung cấp một ví dụ?), Thì các điều kiện bổ sung để làm cho nó hợp lệ là gì?

— Nicolas H
nguồn

15

Định lý của Slutsky không mở rộng thành hai chuỗi hội tụ trong các phân phối cho một biến ngẫu nhiên. Nếu hội tụ trong phân phối đến , $Y_n$ $Y$ cũng có thể thất bại trong việc hội tụ hoặc có thể hội tụ về một cái gì đó khác hơn là . $X_n+Y_n$ $X+Y$

Ví dụ, nếu cho tất cả 's, không hội tụ về sự khác biệt của hai rv với cùng phân phối như . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

Một ví dụ ngược lại là, khi các chuỗi và độc lập và cả hai đều hội tụ trong một biến bình thường , nếu người ta xác định và , rồi $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$ Xemcâu trả lời của Davideđể biết thêm chi tiết về ví dụ này.

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Tây An
nguồn

2

Đối với nó để mở rộng bạn cần một cái gì đó nhiều hơn, như độc lập.

— kjetil b halvorsen

Tôi có đúng không khi nghĩ rằng nếu cả hai chuỗi thay vào đó đều hội tụ thành một hằng số, Slutsky DOES vẫn áp dụng vì hằng số là trường hợp đặc biệt (suy biến) của RV?

— một nửa vượt qua

1

@ nửa chuyền: điều này đúng.

— Tây An

3

Giả sử rằng là một Gaussian trung vector có hiệp phương sai ma trận là với . Xác định và cho . Khi đó và , trong đó và $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ là biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn bình thường. Tuy nhiên, là Gaussian, trung tâm và phương sai của nó là . Vì không có thông tin gì về phân phối , chúng tôi không thể khẳng định rằng $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ trong phân phối. $X_n+Y_n\to X+Y$

Ví dụ này shosw mà chúng ta có thể có trong và trong phân phối, nhưng nếu chúng ta không có thông tin về phân phối , sự hội tụ có thể thất bại. $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Tất nhiên, mọi thứ đều ổn nếu trong phân phối (ví dụ nếu độc lập với và của Nói chung, chúng ta chỉ có thể khẳng định rằng chuỗi là chặt chẽ (có nghĩa là, đối với mỗi dương , chúng ta có thể tìm thấy mà $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ ). Điều này có nghĩa rằng chúng ta có thể tìm thấy một chuỗi ngày càng tăng của các số nguyên mà hội tụ trong phân phối cho một số biến ngẫu nhiên . $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

Dự luật. Có tồn tại chuỗi của các biến ngẫu nhiên Gaussian và như vậy mà cho bất kỳ , chúng ta có thể tìm thấy một chuỗi ngày càng tăng của các số nguyên ví dụ rằng $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ hội tụ trong phân phối cho . $N(0,\sigma^2)$

Bằng chứng. Hãy xem xét một điều tra của số hữu tỉ của và một song ánh . Đối với , xác định như một Gaussian trung vector của hiệp phương sai ma trận $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ . Với lựa chọn này, người ta có thể thấy rằng kết luận của các đề xuất được thỏa mãn khi là hợp lý. Sử dụng một đối số gần đúng cho trường hợp chung. $\sigma$

— Davide Giraudo
nguồn