Chức năng Lỗi và chức năng phân phối Chuẩn thông thường có liên quan như thế nào?

Nếu PDF chuẩn thông thường là

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

và CDF là

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

Làm thế nào để điều này biến thành một hàm lỗi của ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
nguồn

johndcook.com/erf_and_n normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

Tôi đã thấy điều này, nhưng nó bắt đầu với ERF đã được xác định.

— TH4454

Chà, có một định nghĩa về erf và một định nghĩa về CDF bình thường .. Các mối quan hệ, có thể lấy được bằng một số tính toán thông thường, được chỉ ra là làm thế nào để chuyển đổi giữa chúng và cách chuyển đổi giữa các nghịch đảo của chúng.

— Mark L. Stone

Xin lỗi, tôi không thấy nhiều chi tiết. Ví dụ: CDF là từ -Inf đến x. Vậy làm thế nào để ERF đi từ 0 đến x?

— TH4454

Bạn có quen thuộc với kỹ thuật tính toán thay đổi biến không? Nếu không, hãy học cách làm.

— Mark L. Stone

Bởi vì đây đi lên thường trong một số hệ thống (ví dụ, Mathematica khăng khăng thể hiện Bình thường CDF về ), nó là tốt để có một chủ đề như thế này mà tài liệu mối quan hệ. $\text{Erf}$

Theo định nghĩa, Hàm Lỗi là

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Viết ngụ ý $t^2 = z^2/2$ (vìkhông phải là tiêu cực), từ đâu $t = z / \sqrt{2}$ $t$ . Các điểm cuốivàtrở thànhvà $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ . Để chuyển đổi tích kết quả vào một cái gì đó trông giống như một hàm phân phối tích lũy (CDF), nó phải được thể hiện về mặt tích có giới hạn thấp hơn, như sau: $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Các tích phân trên kích thước bàn tay phải là cả hai giá trị của CDF của phân phối chuẩn,

Φ (x) = = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

Đặc biệt,

Erf (x) = = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Điều này cho thấy cách thể hiện Chức năng Lỗi theo CDF thông thường. Thao tác đại số đó dễ dàng cung cấp cho CDF bình thường về chức năng Lỗi:

Φ (x) = = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

$\Phi$ $x$ , thêmvàotọa độ, sau đó chiatọa độcho, phản ánh mối quan hệ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

trong đó ký hiệu cho thấy rõ ràng ba hoạt động nhân, cộng và chia này.

— whuber
nguồn

Tôi nghĩ

Φ (x, μ, σ) = = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$