Tại sao phân phối Poisson được chọn để mô hình hóa các quy trình đến trong các vấn đề lý thuyết xếp hàng?

Khi chúng tôi xem xét các kịch bản lý thuyết xếp hàng trong đó các cá nhân đến một nút phục vụ và xếp hàng, thông thường một quy trình Poisson được sử dụng để mô hình hóa thời gian đến. Những kịch bản này đến trong các vấn đề định tuyến mạng. Tôi đánh giá cao một lời giải thích trực quan về lý do tại sao một quá trình Poisson phù hợp nhất để mô hình hóa các điểm đến.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
nguồn

Câu trả lời:

Quá trình Poisson bao gồm thời gian chờ "không nhớ" cho đến khi khách hàng tiếp theo đến. Giả sử thời gian trung bình từ một khách hàng đến tiếp theo là . Phân phối xác suất liên tục không có bộ nhớ cho đến lần đến tiếp theo là một phân phối trong đó xác suất chờ thêm một phút, hoặc giây, hoặc giờ, v.v., cho đến lần đến tiếp theo, không phụ thuộc vào thời gian bạn chờ đợi kể từ lần cuối cùng . Việc bạn đã đợi năm phút kể từ lần đến cuối cùng không có khả năng khách hàng sẽ đến vào phút tiếp theo, hơn là nếu bạn chỉ đợi 10 giây kể từ lần đến cuối cùng. $\theta$

Này sẽ tự động ngụ ý rằng thời gian chờ đợi cho đến khi thỏa mãn xuất hiện tiếp theo , tức là, nó là một phân phối mũ. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

Và điều đó có thể được hiển thị để ngụ ý rằng số của khách hàng đến trong bất kỳ khoảng thời gian nào có độ dài thỏa mãn $X$ $t$ , tức là nó có phân phối Poisson với giá trị mong đợi $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ . Hơn nữa, nó ngụ ý rằng số lượng khách hàng đến trong các khoảng thời gian không chồng chéo là độc lập xác suất. $t/\theta$

Vì vậy, việc không nhớ thời gian chờ đợi dẫn đến quá trình Poisson.

— Michael Hardy
nguồn

Dù các định lý có thể nói gì đi nữa, thì thực tế là các tình huống bình thường của ngườiinin là những người đến không nhớ. Bạn không thể chứng minh rằng số lượng khách hàng đến trong một khoảng thời gian không có gì, thực sự.

Mục đích của câu hỏi là không yêu cầu một bằng chứng chính thức. Nhiều lần, các quan sát được thực hiện dẫn đến một định lý và sau đó trực giác được 'phát triển' để phù hợp với các quan sát và do đó giúp củng cố định lý theo cách hiểu phổ biến. Tôi đang tìm kiếm một cái gì đó tương tự. Đã chỉnh sửa câu hỏi của tôi để bao gồm như vậy.

— Vighnesh

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$ . That's the same as

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$ . The event

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$ is the same as the event

T > t + s

$T>t+s$ . Hence the conditional probability is

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$ . Memorylessness says this is the same as

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$ . Hence we have

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$ . A monotone function

g

$g$ that satisfies

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$ is an exponential function. And monotocity follows from the fact that

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$ must be less than

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$ because the former event implies, but is not implied by, the latter.

— Michael Hardy

Shouldn't it be

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$ ?

— vonjd

Pretty much any intro to queuing theory or stochastic processes book will cover this, e.g., Ross, Stochastic Processes, or the Kleinrock, Queuing Theory.

For an outline of a proof that memoryless arrivals lead to an exponential dist'n:

Let G(x) = P(X > x) = 1 - F(x). Now, if the distribution is memoryless,

G(s+t) = G(s)G(t)

i.e., the probability that x > s+t = the probability that it is greater than s, and that, now that it is greater than s, it's greater than (s+t). The memoryless property means that the second (conditional) probability is equal to the probability that a different r.v. with the same distribution > t.

To quote Ross:

"The only solutions of the above equation that satisfy any sort of reasonable conditions, (such as monotonicity, right or left continuity, or even measurability), are of the form:"

G(x) = exp(-ax) for some suitable value of a.

and we are at the Exponential distribution.

— jbowman
nguồn

Robert Gallager's DRAFT OF STOCHASTIC PROCESSES: THEORY FOR APPLICATIONS (rle.mit.edu/rgallager/notes.htm) is a good free alternative for an introduction to stochastic processes including a discussion of the Poisson process

— Martin Van der Linden

Robert Gallager's RAFT OF STOCHASTIC PROCESSES: THEORY FOR APPLICATIONS

— Martin Van der Linden