Làm thế nào để lấy mẫu từ phân phối rời rạc trên các số nguyên không âm?

Tôi có sự phân bố rời rạc sau, nơi được biết hằng số:$\alpha,\beta$

$$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$$

Một số cách tiếp cận để lấy mẫu hiệu quả từ phân phối này là gì?

Đây là phân phối nhị thức âm tính Beta , với tham số trong trường hợp của bạn, sử dụng ký hiệu Wikipedia. Nó cũng được đặt tên phân phối Beta-Pascal khi r là số nguyên. Như bạn đã lưu ý trong một nhận xét, đây là phân phối dự đoán trong mô hình nhị thức âm Bayes với Beta liên hợp trước khi xác suất thành công.$r=1$$r$

$\text{Beta}(\alpha,\beta)$$u$$\text{NB}(r,u)$$r=1$

brrrbeta_nbinomdbeta_nbinom$a=r$$c=\alpha$$d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

Nhìn vào mã, người ta có thể thấy nó thực sự gọi là ghyperphân phối (siêu tổng quát) của các bản phân phối của SuppDistsgói:

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

Trên thực tế, phân phối BNB được gọi là phân phối siêu bội tổng quát loại IV . Xem sự giúp đỡ của ghypertrong SuppDistsgói. Tôi tin rằng điều này cũng có thể được tìm thấy trong cuốn sách Phân phối riêng biệt của Johnson & al .

$$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$$ $x$$u\sim\mathcal{U}(0,1)$ $$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$$ $$S_k>u$$ $k$ $$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$$ $$S_k=S_k-1+R_k$$