Vấn đề màu bóng đèn

8

Trước tiên hãy xem xét vấn đề nhỏ sau đây:

Có hai bóng đèn không thể phân biệt A và B. Một đèn đỏ nhấp nháy với đầu dò .8 và màu xanh lam với đầu dò .2; B màu đỏ với .2 và màu xanh .8. Bây giờ với 0,5 đầu dò, bạn được trình bày bằng A hoặc B. Bạn phải quan sát màu flash của nó để đưa ra dự đoán tốt nhất (tối đa hóa xác suất đoán đúng) bóng đèn đó là gì. Tuy nhiên, trước khi bạn bắt đầu quan sát, bạn phải quyết định số lần bạn muốn quan sát nó (nói n lần, sau đó bạn quan sát nó nhấp nháy n lần và đoán của bạn). Giả sử đèn flash là độc lập.

Theo trực giác, người ta sẽ nghĩ rằng càng quan sát nhiều, cơ hội của một người sẽ càng tốt hơn. Tuy nhiên, thật tò mò, tính toán dễ dàng cho thấy n = 2 không cải thiện khi n = 1 và n = 4 không cải thiện khi n = 3. Tôi đã không đi xa hơn nhưng tôi suy đoán n = 2k không cải thiện khi n = 2k-1. Tôi không thể chứng minh nó cho trường hợp chung. Nhưng nó có đúng không? Nếu vậy, làm thế nào người ta có thể hiểu được kết quả bằng trực giác?

bayesian binomial

— Eric
nguồn

10

Bạn nói đúng: $n=2k$ không cải thiện $n=2k-1$ trong trường hợp đối xứng này.

Rõ ràng chiến lược tối ưu là nhìn vào số lượng đèn flash màu đỏ và màu xanh lam và chọn A hoặc B theo màu nào xuất hiện nhiều hơn. Nếu cùng một số xuất hiện của mỗi số, nó sẽ không tạo ra bất kỳ sự khác biệt nào mà bạn đoán, vì cơ hội chính xác của bạn là $0.5$ trong tình huống đó.

Nếu có phần lớn một màu sau $2k$ nhấp nháy thì phần lớn phải chẵn và ít nhất là 2, do đó màu cũng có phần lớn ít nhất là 1 sau $2k-1$ nhấp nháy. Nếu có bình đẳng sau $2k$ nhấp nháy, sau đó chọn màu với đa số sau $2k-1$ nhấp nháy là tốt như bất kỳ quy tắc quyết định khác trong tình huống này. Vì vậy, với số lần nhấp nháy chẵn, đèn flash cuối cùng không giúp bạn cải thiện việc thay đổi đoán chính xác.

— Henry
nguồn

@Henry: "Nếu có phần lớn một màu sau 2k nhấp nháy thì phần lớn phải chẵn và ít nhất là 2" Tôi có thể đã hiểu nhầm quan điểm của bạn, nhưng tại sao nó phải chẵn? Ví dụ: nếu k = 10 và màu đỏ được quan sát 11 lần và màu xanh 9 lần, thì sự đồng đều đến từ đâu?

— Eric

@Eric:

11 - 9 = 2

$11-9=2$ đó là một số chẵn Nếu

a + b = 2 k

$a+b=2k$ sau đó

a - b = 2 (k - b)

$a-b=2(k-b)$ đó là thậm chí

— Henry

2

Để trả lời một cách nghiêm ngặt, vấn đề này tập trung vào việc quan sát số lần nhấp nháy màu đỏ $X$ đó là một nhị thức $\mathcal{B}(n,.8)$ (A) hoặc nhị thức $\mathcal{B}(n,.8)$ (B), với xác suất $0.5$ cho mỗi. Do đó xác suất chọn bóng đèn A được đưa ra bởi định lý Bayes

P (b = A | X = x) = \frac{P (X = x | b = A)}{P (X = x | b = A) + P (X = x | b = B)}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$ vì vậy đây là

P (b = A | X = x) = \frac{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x}}{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x} + (\binom{n}{x}) {0.2}^{x} {0.8}^{n - x}} = \frac{1}{1 + 4^{n - 2 x}}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$ Do đó A (resp. B) được chọn khi

n - 2 x < 0

$n-2x<0$ (tôn trọng.

n - 2 x > 0

$n-2x>0$ ). Như vậy, khi nào

n = 2 k - 1

$n=2k-1$ , xác suất để chọn chính xác A là

P (X > (2 k - 1) / 2 | b = A) = P (X \geq k | b = A) = \sum_{x = k}^{2 k - 1} (\binom{2 k - 1}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{2 k - 1 - x} .

$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$

— Tây An
nguồn

: Điều đó hữu ích. Đó là công thức tương tự như ở đây stats.stackexchange.com/questions/18975/ cường , chỉ trong các ký hiệu khác nhau. Nhưng để hoàn thành bằng chứng khắt khe này, bạn vẫn phải đưa ra

n = 2 k

$n=2k$ và

n = 2 k - 1

$n=2k-1$ đòi hỏi xác suất chính xác như nhau.

— Eric

1

Điều này được thực hiện trong câu trả lời cho câu hỏi khác của bạn, <a href=" stats.stackexchange.com/questions/18975/ cho một phương trình nhị thức</a>

— Xi'an

1

Cũng lưu ý rằng câu hỏi khác này của bạn chỉ cung cấp công thức cuối cùng, trong khi câu trả lời của tôi giải thích lý do tại sao chúng tôi đạt được công thức này.

— Tây An