Các hàm riêng và giá trị riêng của hạt nhân hàm mũ

Các hàm riêng và giá trị riêng của hạt nhân hàm mũ là gì?

Hạt nhân hàm mũ được định nghĩa là

k (x, x^{'}) = σ^{2} \exp (\frac{| | x - x^{'} | |}{l})

$k(x,x')=\sigma^2\exp\left(\frac{||x-x'||}{l}\right)$ nơi cả hai

σ > 0

$\sigma>0$ và

l > 0

$l>0$ .

Định lý Mercers cho chúng ta biết rằng với mọi hàm kernel $k(x,x')$ tồn tại một sự phân rã trong các hàm riêng $\phi_i(x)$ và giá trị riêng tương ứng $\lambda_i$ như vậy mà

k (x, x^{'}) = \sum_{i = 1}^{\infty} λ_{i} ϕ_{i} (x) ϕ_{i} (x)

$k(x,x')=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i \phi_i(x)\phi_i(x)$

Biến đổi Fourier

F (k) (ω) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} k (r) e^{i ω r} d r

$\mathcal{F}(k)(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} k(r) e^{i\omega r}dr$ của chức năng

k (r) = σ^{2} \exp (\frac{| | r | |}{l})

$k(r)=\sigma^2 \exp\left(\frac{||r||}{l}\right)$ với

r = x - x^{'}

$r=x-x'$ Là

F (k) (ω) = \frac{\sqrt{\frac{2}{π}} σ^{2} l}{l^{2} ω^{2} + 1} .

$\mathcal{F}(k)(\omega)=\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi }} \sigma^2 l}{l^2 \omega ^2+1}.$ Làm thế nào để tiến hành từ đây?

kernel-trick

— Julian Karls
nguồn

Một số thông tin có thể được tìm thấy trong các quy trình Gaussian cho Machine Learning, phần 4.3, "Phân tích hàm riêng của hạt nhân."

— Sycorax nói Phục hồi lại

Đây là một câu hỏi học máy hay một câu hỏi toán học thuần túy?

— gung - Phục hồi Monica

@gung Nó có thể là cả hai. Tuy nhiên tôi đã hy vọng rằng giải pháp cho vấn đề này được biết đến nhiều hơn trong vấn đề máy học. Đó là lý do tại sao tôi đăng nó ở đây.

— Julian Karls

Giả sử Hamilton của hệ thống của bạn là toán tử | x>, thứ bạn thực sự muốn tìm là không gian đối ứng của x. Cách dễ nhất để làm điều này là lấy biến đổi fourier của k (x, x ') mà theo định nghĩa là sự kết hợp tuyến tính của các trạng thái k (x, x'). Bạn có thể đọc thêm tại đây: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

Tôi cũng khuyên bạn nên chuyển các biến thành r = xx 'để đơn giản hóa toán học.

— Greg Petersen
nguồn

Hey cảm ơn cho nhận xét của bạn. Tôi đã thêm đề nghị của bạn vào câu hỏi ban đầu của tôi. Làm thế nào để tiến hành từ đó?

— Julian Karls

Thật ra tôi nên lùi lại một bước. Nhà điều hành nào bạn đang điều tra? Để tìm giá trị riêng và hàm riêng, bạn cần xác định giá trị này trước. Tôi nhận ra rằng tôi đang giả sử đó là toán tử Fourier Transform.

— Greg Petersen