Phương sai trong ước tính p cho phân phối nhị thức

Làm thế nào tôi có thể tính toán phương sai của p khi xuất phát từ phân phối nhị thức? Hãy nói rằng tôi lật n xu và nhận được k đầu. Tôi có thể ước tính p là k / n, nhưng làm cách nào để tính phương sai trong ước tính đó?

Tôi quan tâm đến điều này để tôi có thể kiểm soát phương sai trong ước tính tỷ lệ của mình khi tôi so sánh giữa các điểm với số lượng thử nghiệm khác nhau. Tôi chắc chắn hơn về ước tính của p khi n lớn hơn, vì vậy tôi muốn có thể mô hình hóa mức độ đáng tin cậy của ước tính.

Cảm ơn trước!

thí dụ:

• 40/100. MLE của p sẽ là 0,4, nhưng phương sai trong p là gì?
• 4/10. MLE vẫn sẽ là 0,4, nhưng ước tính ít tin cậy hơn, do đó nên có nhiều phương sai trong p.

Nếu là thì MLE của là .nhị thức ( n , p ) p p = X /$X$$\text{Binomial}(n, p)$$p$$\hat{p} = X/n$

Một biến nhị thức có thể được coi là tổng của biến ngẫu nhiên Bernoulli. trong đó .X = ∑ n i = 1 Y i Y i ∼ Bernoulli ( p $n$$X = \sum_{i=1}^n Y_i$$Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

vì vậy chúng ta có thể tính toán phương sai của MLE là$\hat{p}$

Vì vậy, bạn có thể thấy rằng phương sai của MLE trở nên nhỏ hơn đối với lớn và cũng nhỏ hơn đối với gần bằng 0 hoặc 1. Xét về nó được tối đa hóa khi .p p p = $n$$p$$p$$p=0.5$

Đối với một số khoảng tin cậy, bạn có thể kiểm tra Khoảng tin cậy nhị thức