Khoảng thời gian chồng chéo ngẫu nhiên

Làm thế nào tôi có thể tìm thấy một biểu thức phân tích trong vấn đề sau? $D(n,l,L)$

Tôi ngẫu nhiên thả "thanh" có độ dài vào một khoảng . Các "thanh" có thể chồng lên nhau. Tôi muốn tìm tổng chiều dài trung bình của khoảng chiếm ít nhất một "thanh". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

Trong giới hạn "mật độ thấp", sự trùng lặp không đáng kể và . Trong giới hạn "mật độ cao", tiếp cận . Nhưng làm thế nào tôi có thể có được một biểu thức chung cho ? Đó phải là một vấn đề thống kê khá cơ bản, nhưng tôi không thể tìm thấy một giải pháp giải thích trong các diễn đàn. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Mọi sự trợ giúp sẽ rất được trân trọng.

Lưu ý rằng các thanh được thả thực sự ngẫu nhiên (độc lập thống kê) của nhau.

probability distributions

— Daniel
nguồn

Đây có phải là một câu hỏi từ một khóa học hoặc sách giáo khoa? Nếu vậy, xin vui lòng thêm [self-study]thẻ và đọc wiki của nó .

— gung - Phục hồi Monica

Không, không phải vậy. bạn có thể tính toán độ dài chiếm trung bình một cách dễ dàng bằng máy tính bằng cách lấy mẫu, nhưng vấn đề có vẻ cơ bản là phải có một phương pháp lý thuyết để giải quyết nó. Vì tất cả các nỗ lực của tôi đều thất bại, tôi chỉ tò mò về cách thực hiện.

— Daniel

Mô hình của bạn để làm thế nào các thanh được "thả" vào [0, L]? Có thể cho họ dính ra các cạnh? Chỉnh sửa: bản vẽ và câu trả lời của bạn cho thấy nó là.

— Adrian

Tìm xác suất mà một cho KHÔNG được bảo hiểm - đó là một giao điểm iid sự kiện. Sau đó, độ dài dự kiến của một phần chưa được khám phá chỉ đơn giản là .

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— NHƯ

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Xác suất một điểm trong bị chiếm bởi một thanh bị rơi là $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

Tương ứng, xác suất để trống là . Xác suất mà một điểm đã cho vẫn trống sau thanh bị rơi là và bị chiếm là $P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

cho lớn . $n$

Sau đó, độ dài chiếm trung bình trong sau "thanh giảm" ngẫu nhiên là $[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

— Daniel
nguồn

Bạn đang đi đúng hướng, nhưng có một số dấu hiệu cho thấy cần phải chăm sóc nhiều hơn. Có lẽ điều quan trọng nhất liên quan đến thực tế là các sự kiện liên quan đến hai điểm bất kỳ không độc lập: điều gì, sau đó, biện minh cho việc nhân các xác suất? Tôi cũng tin rằng biểu hiện của bạn cho là không chính xác. Ví dụ, xem xét trường hợp . Từ bản vẽ của bạn, có vẻ như bạn đang giả sử điểm cuối bên trái của thanh có phân phối đồng đều trên khoảng . Do đó, cơ hội được bảo hiểm là , không bằng .

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

— whuber

Cảm ơn những gợi ý. Bạn nói đúng, tôi nên viết rằng đáng lẽ không có mối tương quan nào giữa các "bản vẽ" ngẫu nhiên. Và bạn cũng đúng, giải pháp trên chỉ có giá trị khi các thanh không được phép ló ra. Làm thế nào vấn đề có thể được giải quyết khi chúng ta cho phép họ thoát ra?

— Daniel

Quan điểm của tôi là ngay cả khi các thanh được thả ngẫu nhiên và độc lập , đối với bất kỳ các sự kiện "thanh này bao gồm điểm " và "thanh này bao gồm điểm " phụ thuộc rất nhiều. Cụ thể, nếu , chúng không thể xảy ra đồng thời. Một cách để xử lý việc này một cách chặt chẽ là liên quan đến xác suất với kỳ vọng.

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

— whuber

Tôi đã xem xét các hiệu ứng ranh giới bây giờ. Tôi nhận thấy quan điểm của bạn rằng sự chiếm đóng của hai điểm khác nhau trong khoảng này có mối tương quan với nhau, nhưng tôi không thấy nó sẽ ảnh hưởng đến giải pháp như thế nào.

— Daniel