Có một định nghĩa được chấp nhận cho trung vị của một mẫu trên mặt phẳng, hoặc không gian có thứ tự cao hơn không?

Nếu vậy thì sao? Nếu không, tai sao không?

Đối với một mẫu trên đường thẳng, trung vị giảm thiểu tổng độ lệch tuyệt đối. Có vẻ tự nhiên khi mở rộng định nghĩa sang R2, v.v., nhưng tôi chưa bao giờ thấy nó. Nhưng sau đó, tôi đã rời khỏi cánh đồng trong một thời gian dài.

Tôi không chắc chắn có một định nghĩa được chấp nhận cho một trung vị đa biến. Điểm tôi quen thuộc là điểm trung vị của Oja, điểm tối thiểu hóa tổng khối lượng đơn giản được hình thành trên tập hợp các điểm. (Xem liên kết để có định nghĩa kỹ thuật.)

Cập nhật: Trang web được tham chiếu cho định nghĩa Oja ở trên cũng có một bài viết hay bao gồm một số định nghĩa về trung vị đa biến:

• Các biện pháp hình học của độ sâu dữ liệu

$\mathbb{R}^d$

• $P_n(A)$$A$$\mathbb{A}$$\mathbb{R}^d$$\lambda$

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  Giả sử bạn có thể tìm thấy một cung cấp cho bạn mức tối thiểu. Sau đó, tập hợp (hoặc một phần tử của tập hợp) cung cấp cho bạn trung vị khi được làm đủ nhỏ. Định nghĩa về trung vị được phục hồi khi sử dụng và . Câu trả lời của Ars rơi vào khung đó Tôi đoán ... vị trí một nửa không gian của tukey có thể thu được bằng cách sử dụng và (với , ).$A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$$\lambda(]-\infty,x])=x$$\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$

• Định nghĩa biến thiên và ước lượng M Ý tưởng ở đây là -quantilecủa một biến ngẫu nhiêntrongcó thể được định nghĩa thông qua phương trình biến thiên.$\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$

  • Định nghĩa phổ biến nhất là sử dụng hàm hồi quy lượng tử (còn được gọi là mất pinball, đoán tại sao?) . Trường hợp chovà bạn có thể khái quát hóa điều đó đến kích thước cao hơn bằng cách sử dụng khoảng cách như được thực hiện trong Câu trả lời @Srikant . Đây là trung bình lý thuyết nhưng cung cấp cho bạn trung vị thực nghiệm nếu bạn thay thế kỳ vọng bằng kỳ vọng thực nghiệm (trung bình).$\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$$\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$

  • Nhưng Kolshinskii đề xuất sử dụng biến đổi Legendre-Fenchel: vì trong đó cho . Ông đưa ra rất nhiều lý do sâu sắc cho điều đó (xem bài báo;)). Tổng quát hóa điều này đến các kích thước cao hơn yêu cầu làm việc với một vectơ và thay thế bằng nhưng bạn có thể lấy .$Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• Thứ tự từng phần Bạn có thể khái quát định nghĩa của các lượng tử trongngay khi bạn có thể tạo một thứ tự từng phần (với các lớp tương đương).$\mathbb{R}^d$

Rõ ràng có những cầu nối giữa các công thức khác nhau. Chúng không phải là tất cả rõ ràng ...

Có nhiều cách khác nhau để khái quát khái niệm trung vị đến các chiều cao hơn. Một điều chưa được đề cập, nhưng đã được đề xuất từ ​​lâu, là xây dựng một thân tàu lồi, bóc nó ra và lặp đi lặp lại miễn là bạn có thể: những gì còn lại trong thân tàu cuối cùng là một tập hợp các điểm mà tất cả các ứng cử viên phải là " trung vị. "

"Đập đầu" là một nỗ lực gần đây khác (c. 1980) để xây dựng một trung tâm mạnh mẽ cho đám mây điểm 2D. (Liên kết là tài liệu và phần mềm có sẵn tại Viện Ung thư Quốc gia Hoa Kỳ.)

Lý do chính tại sao có nhiều khái quát hóa riêng biệt và không có một giải pháp rõ ràng nào là R1 có thể được đặt hàng nhưng R2, R3, ... không thể.

Trung bình hình học là điểm có khoảng cách điện tử trung bình nhỏ nhất từ ​​các mẫu

Trung bình nửa không gian Tukey có thể được mở rộng đến> 2 chiều bằng DEEPLOC, một thuật toán do Struyf và Rousseeuw; xem tại đây để biết chi tiết.

Thuật toán được sử dụng để tính gần đúng điểm có độ sâu lớn nhất một cách hiệu quả; Các phương pháp ngây thơ cố gắng xác định chính xác điều này thường chạy afoul (phiên bản tính toán) "lời nguyền của chiều", trong đó thời gian chạy cần thiết để tính toán thống kê tăng theo cấp số nhân với số lượng không gian.

Một định nghĩa gần với nó, đối với các bản phân phối không chính thống, là trung bình tukey nửa không gian

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_Vp.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

Tôi không biết có tồn tại định nghĩa nào như vậy không nhưng tôi sẽ thử và mở rộng định nghĩa chuẩn của trung vị lên . Tôi sẽ sử dụng ký hiệu sau:$R^2$

$X$ , : các biến ngẫu nhiên liên quan đến hai chiều.$Y$

$m_x$ , : các trung vị tương ứng.$m_y$

$f(x,y)$ : pdf chung cho các biến ngẫu nhiên của chúng tôi

Để mở rộng định nghĩa về trung vị đến , chúng tôi chọn và để giảm thiểu các điều sau:$R^2$$m_x$$m_y$

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

Vấn đề bây giờ là chúng ta cần một định nghĩa cho những gì chúng ta muốn nói:

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

Trên đây là một số liệu khoảng cách và một số định nghĩa ứng cử viên có thể có.

Số liệu Eucliedan

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

Việc tính toán trung vị theo số liệu euclide sẽ yêu cầu tính toán kỳ vọng ở trên đối với mật độ khớp .$f(x,y)$

Số liệu taxi

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

Việc tính toán trung vị trong trường hợp chỉ số taxicab liên quan đến việc tính toán trung vị của và một cách riêng biệt vì số liệu này có thể tách rời theo và .$X$$Y$$x$$y$