Tại sao phép nhân trong miền tần số tích chập bằng nhau trong miền thời gian?

Câu hỏi này xuất hiện trong bối cảnh hiểu làm thế nào để có được phân phối tổng của hai biến ngẫu nhiên iid. Tôi đang làm việc thông qua câu trả lời hàng đầu cho câu hỏi này Hãy xem xét tổng của phân phối thống nhất trên hoặc . Tại sao cusp trong PDF của biến mất cho ? $n$$[0,1]$$Z_n$$Z_n$$n \geq 3$, cố gắng hiểu tại sao các chức năng đặc trưng hành xử theo cách họ làm.

Tiêu đề là toàn bộ câu hỏi.

Giả sử chúng ta có thể tìm thấy một hàm (có thể đo lường) được xác định trên các số thực với thuộc tính$\chi$

cho tất cả các số và và có số dương hữu hạn mà cho tất cả . Lưu ý cách liên quan đến phép cộng (là phép toán cơ bản xuất hiện trong phép chập) và phép nhân.$a$$b$ $M$$|\chi(a)| \le M$$a$$\chi$

Tại sao các tính chất này hữu ích? Giả sử và là các biến ngẫu nhiên độc lập. Đặt là số thực. Sau đó (chiếm hai thuộc tính này theo thứ tự ngược lại)$X$$Y$$t$

1. $\mathbb{E}(\chi(tX)) \le \mathbb{E}(|\chi(tX)|) = \mathbb{E}(M) = M \lt \infty$ (có biểu thức tương tự cho ) cho thấy rằng các kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên và tồn tại và là hữu hạn, với đồng nhất ràng buộc độc lập với .$Y$$\chi(tX)$$\chi(tY)$$M$$t$

   Quy trình lấy biến ngẫu nhiên và biến nó thành hàm $X$

   $$t \to \mathbb{E}(\chi(tX)) = (\operatorname{cf}_\chi(X))(t)$$

   do đó gán một hàm được xác định rõ ràng, có giới hạn cho mọi biến ngẫu nhiên vấn đề gì với các thuộc tính khủng khiếp có thể có.$\operatorname{cf}_\chi(X)$$X$$X$

2. $\mathbb{E}(\chi(t(X+Y))) = \mathbb{E}(\chi(tX)\chi(tY)) = \mathbb{E}(\chi(tX))\mathbb{E}(\chi(tY))$ vì và độc lập. Viết hơi khác,$X$$Y$

   $$(\operatorname{cf}_\chi(X+Y))(t) = ((\operatorname{cf}_\chi(X))(\operatorname{cf}_\chi(Y)))(t)$$

   Nghĩa là, phép biến đổi chuyển đổi tích chập (thêm các biến ngẫu nhiên) thành phép nhân (theo chiều) của các hàm.$\operatorname{cf}_\chi$

Nhiều hơn nữa có thể nói: xem tài liệu về Phân tích Fourier . Nhưng trong thời gian đó, câu hỏi đã được trả lời theo cách cho thấy "thời gian" và "tần số" có thể là những kẻ thừa kế: tính chất cơ bản của chuyển đổi tích chập thành phép nhân chỉ dựa vào sự tồn tại của một . $\chi$

Các hàm có giá trị thực duy nhất có các thuộc tính xác định của là và . Chúng dẫn đến không có gì hữu ích. Nhưng nếu chúng ta cho phép có các giá trị phức tạp thì là một hàm như vậy và nó tạo ra kết quả hữu ích. (Hơn nữa, tất cả như vậy đều có nguồn gốc từ cái này: chúng phải có dạng cho một số thực cố định .) Trong trường hợp này được gọi là chức năng đặc trưng của .$\chi$$\chi(a) = 1$$\chi(a) = 0$$\chi$$\chi(a) = \exp(ia)$$\chi$$a\to \exp(ia\lambda)$$\lambda$$\operatorname{cf}_\chi(X)$$X$

Không khó để thấy rằng khi không bằng 0,phải luôn luôn bằng , bất kể là gì . Các hàm như vậy được gọi là các ký tự nhân (phức) (của nhóm cộng các số thực).$\chi$$|\chi(a)|$$1$$a$

Câu trả lời phụ thuộc vào những gì bạn đang tìm kiếm trong câu trả lời.

Ví dụ, với tôi đây là câu trả lời và phần còn lại chỉ là chi tiết: Đó là tất cả về số mũ, khi bạn nhân chúng, các đối số của chúng được thêm vào.