Hàm delta của Dirac có nên được coi là một lớp con của phân phối Gaussian không?

Trong Wikidata có thể liên kết các phân phối xác suất (giống như mọi thứ khác) trong một bản thể luận, ví dụ, phân phối t là một lớp con của phân phối t phi tập trung, xem, ví dụ,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Có nhiều trường hợp giới hạn khác nhau, ví dụ, khi mức độ tự do trong phân bố t chuyển sang vô cùng hoặc khi phương sai tiến đến 0 đối với phân phối chuẩn (phân phối Gaussian). Trong trường hợp sau, phân phối sẽ hướng tới chức năng delta của Dirac.

Tôi lưu ý rằng trên Wikipedia tiếng Anh, tham số phương sai hiện được quy định là lớn hơn 0, do đó, với cách giải thích chặt chẽ, người ta sẽ không nói rằng hàm delta của Dirac là một lớp con của phân phối chuẩn. Tuy nhiên, với tôi có vẻ khá ổn, vì tôi sẽ nói rằng phân bố theo cấp số nhân là một siêu lớp của hàm delta của Dirac.

Có bất kỳ vấn đề nào khi nói rằng hàm delta của Dirac là một lớp con của phân phối Gaussian không?

distributions normal-distribution dirac-delta

— Finn Årup Nielsen
nguồn

NẾU dirac delta là một lớp con của gaussian thì độ suy yếu của nó phải là 3, phải không?

— Aksakal

Tôi đoán rằng nếu chúng ta coi đồng bằng Dirac là một lớp con của một số phân phối xác suất, thì sự suy yếu không phù hợp với Đồng bằng Dirac. Nó nói chống lại liên quan đến đồng bằng Dirac như là một lớp con của bất kỳ phân phối nào trong số này.

— Finn Årup Nielsen

Trong bối cảnh xác suất delta được mô tả như là một hàm tổng quát. Đây không phải là chức năng thông thường

— Aksakal

Câu trả lời:

Đồng bằng của Dirac được coi là phân phối Gaussian khi thuận tiện để làm như vậy và không được xem xét khi quan điểm này yêu cầu chúng tôi đưa ra ngoại lệ.

Ví dụ, được cho là để thưởng thức một đa biến phân phối Gaussian nếu là một biến ngẫu nhiên Gaussian cho tất cả các lựa chọn của số thực . (Lưu ý: đây là định nghĩa chuẩn trong thống kê "nâng cao"). Vì một sự lựa chọn là $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , định nghĩa chuẩn coi hằng số (biến ngẫu nhiên suy biến) là biến ngẫu nhiên Gaussian (với giá trị trung bình và phương sai ). Mặt khác, chúng tôi bỏ qua việc chúng tôi coi đồng bằng Dirac là phân phối Gaussian khi chúng tôi đang xem xét một cái gì đó như $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"Hàm phân phối xác suất tích lũy (CDF) của biến ngẫu nhiên Gaussian trung bình bằng 0 với độ lệch chuẩn là $\sigma$ nơi

F_{X} (x) = = P {X \leq x} = = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ là CDF của một biến ngẫu nhiên Gaussian tiêu chuẩn."

Lưu ý rằng tuyên bố này gần như đúng nhưng không hoàn toàn đúng nếu chúng ta coi đồng bằng Dirac là trường hợp giới hạn của một chuỗi các biến ngẫu nhiên Gaussian trung bình bằng 0 có độ lệch chuẩn tiếp cận (và do đó là biến ngẫu nhiên Gaussian). CDF của vùng đồng bằng Dirac có giá trị cho trong khi $0$ $1$ $x \geq 0$ Nhưng, nhiều người sẽ nói với bạn rằng liên quan đến đồng bằng Dirac như phân phối Gaussian là vô nghĩa vì cuốn sách của họ nói rằng phương sai của biến ngẫu nhiên Gaussian phải là một số dương ( và một số người trong số họ sẽ bỏ phiếu trả lời câu trả lời này để thể hiện sự không hài lòng của họ). Có một cuộc thảo luận rất sôi nổi và sáng sủa về điểm này vài năm trước về số liệu thống kê. Nhưng thật không may, đó chỉ là trong các nhận xét về một câu trả lời (bởi @Macro, tôi tin) và không phải là câu trả lời riêng lẻ và tôi không thể tìm lại được .

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$

— Dilip Sarwate
nguồn

+1. Tôi không chắc có vấn đề gì liên quan đến CDF, vì tôi tin rằng giá trị giới hạn của chuỗi CDF ở bất kỳ bước nhảy nào của giới hạn không thành vấn đề. Có hai cách để thấy điều đó. Một là lưu ý rằng công thức giới hạn của bạn không phải là CDF hợp lệ (nó không phải là cadlag). Một cách khác là lưu ý rằng bạn có được phân phối Dirac ở

khi bạn để

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$ đồng thời, nhưng bạn có thể cố gắng để giá trị giới hạn của

là bất cứ thứ gì trong khoảng từ

đến

(hoặc không có giới hạn nào cả).

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber 16/2/2016

Cuộc trò chuyện mà bạn tham khảo đã xảy ra trong các bình luận của câu trả lời này , mặc dù tôi chân thành hy vọng rằng với hầu hết các độc giả, cuộc thảo luận sẽ không xuất hiện quá mạnh mẽ. (+1)

— hồng y

@cardinal Kiến thức sâu rộng về cộng đồng của chúng tôi. Làm tốt!

— Matthew Drury

Các hàm delta phù hợp với một lý thuyết phân phối toán học (khá khác biệt với lý thuyết về phân phối xác suất , thuật ngữ ở đây không thể khó hiểu hơn).

$D$ được định nghĩa như sau

Gọi là tập hợp các hàm kiểm tra . Một chức năng kiểm tra $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

$f$

T (θ) = = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

Có các bản phân phối không liên quan đến các hàm thực, toán tử dirac là một trong số chúng

δ (θ) = = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

$N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

Điều này có lẽ thường được thể hiện như là

θ (0) = = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

mà một nhà toán học sẽ coi là lạm dụng ký hiệu, bởi vì biểu thức $\delta(x)$

Tất nhiên, liệu điều này làm cho dirac trở thành một thành viên trong gia đình phân phối bình thường hay không là một câu hỏi văn hóa. Ở đây tôi chỉ đưa ra một lý do tại sao nó có thể có ý nghĩa để xem xét nó như vậy.

— Matthew Drury
nguồn

Trong khi tôi đồng ý với tuyên bố của bạn, tôi nghĩ điều này hàm ý ngược lại. Hàm delta không phải là tập con của gaussian. Cũng như một giới hạn của các chức năng liên tục không cần phải là một chức năng liên tục.

— seanv507

@ seanv507 Tôi đã làm hết sức để không đưa ra kết luận nào cả!

— Matthew Drury

Tôi nghĩ rằng các bản phân phối rất giống với phân phối xác suất, với phân phối Dirac delta (xác suất) chỉ ra một biến xác định ...

— user541686 17/2/2016

Nếu bạn không viết các giới hạn của tích phân, chúng có thể bị nhầm lẫn các tích phân không xác định. Ngoài ra, câu này không có nghĩa: "Hàm kiểm tra là hàm đúng, trung thực với chức năng của thần, trơn tru, với sự hỗ trợ nhỏ gọn".

— ogogmad

@jkabrg Tại sao nó không có ý nghĩa? Vì tôi đã viết nó, thật khó để tôi thấy nó không có ý nghĩa.

— Matthew Drury

-1

Không. Nó không phải là một lớp con của phân phối bình thường.

Tôi nghĩ rằng sự nhầm lẫn đến từ một trong những đại diện của chức năng Dirac. Hãy nhớ rằng nó được định nghĩa như sau:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

δ (x) = = lim_{σ \to 0} \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

δ (x) = = \frac{1}{2 π} Σ_{k = = - \infty}^{\infty} e^{Tôi k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

Do đó, tốt nhất bạn nên nghĩ về hàm Dirac theo định nghĩa tích phân của nó và lấy các biểu diễn hàm, chẳng hạn như Gaussian, làm công cụ tiện lợi.

CẬP NHẬT Theo quan điểm của @ whuber, một ví dụ tốt hơn nữa là đại diện cho đồng bằng của Dirac:

δ (x) = = lim_{σ \to 0} \frac{e^{- \frac{| x |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

Điều này có giống như phân phối Laplacian cho bạn? Chúng ta không nên coi delta của Dirac như là một lớp con của phân phối Laplacian?

— Aksakal
nguồn

Tại một số điểm trong câu trả lời này, bạn dường như chuyển từ thảo luận về phân phối sang thảo luận về "chức năng". Câu hỏi đề cập rõ ràng đến "phân phối xác suất." Chúng thường không được cung cấp bởi các hàm mật độ, nhưng luôn có thể được cung cấp bởi hàm phân phối của chúng. Sự phân bố của một nguyên tử - "đồng bằng Dirac" - rất phù hợp với tất cả các phân phối Gaussian khác như một trường hợp giới hạn. (Trong thiết lập của Matthew Drury, nó được định nghĩa là giới hạn đó!) Đối số của bạn có vẻ tương tự như tuyên bố rằng, giả sử, các vòng tròn không phải là hình elip. Thực thi các ngoại lệ như vậy không có vẻ xây dựng.

— whuber

@whuber, "phân phối nguyên tử" là gì?

— Aksakal

Một "nguyên tử" là một khối xác suất tại một điểm. Tương tự, đó là sự phân phối của bất kỳ biến ngẫu nhiên nào không đổi gần như ở mọi nơi.

— whuber

@whuber, Oh, tôi đã nghĩ về một nguyên tử vật lý. Không, quan điểm của tôi là đồng bằng của Dirac không phải là một lớp con của Gaussian, bởi vì nó cũng có thể được đại diện bởi Laplacian như các bản phân phối

— Aksakal

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$ họ quy mô vị trí và ít nhất một phân phối delta thuộc về mọi họ quy mô. Về mặt hình học, các gia đình là những đường cong trong một không gian phân phối; một phân phối nhất định là một điểm; và (rõ ràng) bất kỳ điểm nào có thể thuộc về nhiều đường cong.

— whuber