Có bao nhiêu điều khoản lớn nhất trong

Hãy xem xét trong đó là iid và CLT giữ. Có bao nhiêu điều khoản lớn nhất cộng lại bằng một nửa tổng số? Ví dụ: 10 + 9 + 8 (10 + 9 + 8 + 1) / 2: 30% các điều khoản đạt khoảng một nửa tổng số.$\sum_{i=1}^N |X_i|$$X_1, \ldots, X_N$

$\approx$$\dots$

Xác định
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

Có một kết quả tiệm cận chung cho Halfsum ( ) không? Một dẫn xuất đơn giản, trực quan sẽ tốt đẹp.$N, \mu, \sigma$

(Một chút Monte Carlo cho thấy rằng đôi khi halfsum ( ) / 4 hoặc lâu hơn; có nghĩa là, lớn nhất 1/4 của thêm lên đến 1/2 tổng số. Tôi có được 0,24 cho halfnormal, 0,19 cho hàm mũ, cho = 20, 50, 100.)≈ N X i N N $N$$\approx N$
$X_i$
$N$$N$$N$

Không, không có kết quả tiệm cận chung. Đặt là thứ tự , trong đó là lớn nhất. x i x [ 1 $x_{[1]} \dots x_{[N]}$$x_i$$x_{[1]}$

Hãy xem xét hai ví dụ sau:

1) . Rõ ràng CLT giữ. Bạn chỉ cần quan sát cho. M = 1 ∑ M j = 1 | x [ j ] | ≥ $P(x=0) = 1$$M=1$$\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

2) . Rõ ràng CLT giữ. Bạn cần quan sát cho.M = ⌈ N / 2 ⌉ Σ M j = 1 | x [ j ] | ≥ $P(x=1) = 1$$M=\lceil N/2\rceil$$\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

Đối với một ví dụ không cần thiết, bản phân phối Bernoulli:

3) . Một lần nữa CLT giữ. Bạn cần của các quan sát để đáp ứng các điều kiện của bạn. Bằng cách thay đổi trong khoảng từ 0 đến 1, bạn có thể đến gần ví dụ 1 hoặc ví dụ 2 tùy thích.⌈ p N / 2 ⌉ $P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$$\lceil pN/2\rceil$$p$

Dưới đây là một đối số thô đưa ra một ước tính hơi khác nhau cho các biến ngẫu nhiên phân bố đồng đều. Giả sử là các biến ngẫu nhiên liên tục được phân phối đồng đều trên . Sau đó, có giá trị trung bình . Giả sử rằng bằng một sự trùng hợp đáng ngạc nhiên và hoàn toàn không thể tin được, tổng tiền hoàn toàn bằng . Vì vậy, chúng tôi muốn ước tính có bao nhiêu giá trị lớn nhất của tổng cộng lên tới trở lên. Bây giờ, biểu đồ của mẫu ( rất lớn) được rút ra từ phân bố đồng đều gần như phẳng từ đến [ 0 , 1 ] ∑ i X i N / 2 N / 2 X N / 4 N N U [ 0 , 1 ] 0 1 x 0 < x < 1 ( 1 - x ) N x 1 ( 1 + x ) / 2 ( 1 - x ) N ( 1 $X_i$$[0,1]$$\sum_i X_i$$N/2$$N/2$$X$$N/4$$N$$N$$U[0,1]$$0$$1$và như vậy đối với mọi , , có mẫu được phân phối gần như đồng đều giữa đến . Các mẫu này có giá trị trung bình và tổng bằng . Tổng vượt quá cho . Vì vậy, tổng số mẫu lớn nhất vượt quá .$x$$0 < x < 1$$(1-x)N$$x$$1$$(1+x)/2$N / 4 x ≤ 1 / $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$$N/4$ (1-1/$x \leq 1/\sqrt{2}$N/$(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$$N/4$

Bạn có thể thử và khái quát điều này một chút. Nếu , thì với bất kỳ cho nào , chúng tôi muốn sao cho trong đó là bình thường với trung bình và phương sai . Do đó, dựa trên giá trị của , . Nhân với mật độ của và tích hợp (từ đến ) để tìm số mẫu trung bình lớn nhất sẽ vượt quá một nửa tổng ngẫu nhiên.Y x ( 1 - x 2 ) N / 2 = Y / 2 Y N / 2 N / 12 Y x = $\sum_i X_i = Y$$Y$$x$$(1-x^2)N/2 = Y/2$$Y$$N/2$$N/12$$Y$ YY=0Y=$x = \sqrt{1-(Y/N)}$$Y$$Y=0$$Y=N$

Giả sử X chỉ có các giá trị dương để loại bỏ giá trị tuyệt đối.

Nếu không có một bằng chứng chính xác, tôi nghĩ bạn phải giải quyết cho k

$(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$ với F là hàm phân phối tích lũy cho X

và sau đó câu trả lời được đưa ra bằng cách lấy các giá trị cao nhất .$n(1-F_X(k))$

Logic của tôi là về mặt tổng thể của tất cả các giá trị cao hơn k nên về

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

và một cách không chính thức một nửa tổng số tiền là về

$\frac{1}{2}nE(X)$ .

Mô phỏng số cho thấy kết quả giữ cho trường hợp đồng nhất (thống nhất trong ) trong đó và tôi nhận được . Tôi không chắc chắn nếu kết quả luôn giữ hoặc nếu nó có thể được đơn giản hóa hơn nữa, nhưng tôi nghĩ nó thực sự phụ thuộc vào hàm phân phối F.F ( k ) = k k = $[0,1]$$F(k)=k$$k=\sqrt(\frac{1}{2})$