Định lý của Basu có yêu cầu đủ điều kiện tối thiểu không?

Casella & Berger nêu định lý Basu's (Th 6.2.24) như sau:

Nếu là một thống kê đầy đủ và tối thiểu, thì độc lập với mọi thống kê phụ trợ.$T(X)$$T(X)$

Tuy nhiên, trong bài giảng, tôi đã thấy một bằng chứng về định lý chỉ sử dụng đủ, không phải là đủ. Bằng chứng về cơ bản là một ứng dụng của luật tổng xác suất.

Wikipedia nêu định lý của Basu bằng cách sử dụng đầy đủ và hoàn thành giới hạn (một yêu cầu yếu hơn hoàn thành), đồng ý với giảng viên của tôi.

Những gì mang lại với phiên bản Casella-Berger?

Để nhận ra rằng sự đầy đủ là không đủ, hãy xem xét rằng, khi là một thống kê đầy đủ, cũng là một thống kê đầy đủ. Bao gồm cả trường hợp khi là một thống kê phụ trợ. Có nghĩa là và không thể độc lập.$T(X)$$(T(X),S(X))$$S(X)$$(T(X),S(X))$$S(X)$