Các ví dụ thực tế về sự khác biệt giữa độc lập và tương quan

Người ta biết rằng sự độc lập của các biến ngẫu nhiên hàm ý tương quan bằng 0 nhưng tương quan bằng 0 không cần hàm ý độc lập.

Tôi đã bắt gặp rất nhiều ví dụ toán học chứng minh sự phụ thuộc mặc dù không có tương quan. Có bất kỳ ví dụ thực tế để hỗ trợ thực tế này?

Lợi nhuận chứng khoán là một ví dụ thực tế về những gì bạn đang yêu cầu. Có rất gần với mối tương quan bằng không giữa lợi nhuận S & P 500 của ngày hôm nay và ngày hôm qua. Tuy nhiên, có sự phụ thuộc rõ ràng: lợi nhuận bình phương được tích cực tự động; thời kỳ biến động cao được nhóm lại trong thời gian.

Mã R:

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

Thời gian trả về nhật ký trên S & P 500:

Nếu lợi nhuận là độc lập theo thời gian (và văn phòng phẩm), thì rất khó có thể thấy các mô hình biến động theo cụm đó và bạn sẽ không thấy tự động tương quan trong trả về nhật ký bình phương.

Một ví dụ khác là mối quan hệ giữa căng thẳng và điểm số trong một kỳ thi. Mối quan hệ là một hình chữ U ngược và mối tương quan là rất thấp mặc dù quan hệ nhân quả có vẻ khá rõ ràng.