Một tên cho điều kiện phân phối này?

Tôi đã đi qua một điều kiện cần thiết trên một phân bố xác suất liên tục được xác định trên $[0, \infty]$ và tự hỏi liệu nó có một cái tên. Đối với một phân phối với CDF $F$ và pdf $f$ Tôi cần điều đó số lượng:

φ (x) \equiv \frac{f (x)}{F (x) + x f (x)}

$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$ không đơn điệu tăng. Đưa điều kiện dưới hình thức khác (bằng cách lấy các dẫn xuất), các yêu cầu là cho tất cả

x \in [0, \infty]

$x \in [0,\infty]$ mà

f^{'} (x) > 0

$f'(x) > 0$ :

f (x) \geq \sqrt{\frac{F (x) f^{'} (x)}{2}}

$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$

Đây dường như là một tài sản thường hài lòng, vì vậy nó có một tên? Nó có liên quan đến, nhưng khác với điều kiện tỷ lệ rủi ro đơn điệu.

distributions references

— Thomas yêu
nguồn

Bạn đã nhìn vào sự đơn điệu của cuộc sống còn lại có nghĩa là? (Có lẽ đó là cách bạn bắt nguồn các điều kiện ở nơi đầu tiên?)

— khách

Bạn có thể cho chúng tôi biết một chút về số lượng xuất hiện không?

— res

Đây gần như là điều kiện để hàm phân phối tích lũy được log-lõm , là một thuộc tính rất hữu ích với nhiều ứng dụng. Nhưng gần như vậy .

Hàm là log-lõm nếu $F(x)$

\frac{\partial^{2} \ln F (x)}{\partial x^{2}} \leq 0 \Rightarrow F^{"} (x) F (x) - {[F^{'} (x)]}^{2} \leq 0

$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$

Viết theo $\phi(x)$ $F(x)$

ϕ (x) \equiv \frac{F^{'} (x)}{F (x) + x F^{'} (x)}

$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$

và chúng tôi muốn

\frac{\partial φ (x)}{\partial x} \leq 0 \Rightarrow F^{"} (x) (F (x) + x F^{'} (x)) - F^{'} (x) (F^{'} (x) + F^{'} (x) + x F^{"} (x)) \leq 0

$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$

\Rightarrow F^{"} (x) F (x) - 2 {[F^{'} (x)]}^{2} \leq 0

$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0$

$2$

$[F(x)]^2$

\frac{\partial φ (x)}{\partial x} \leq 0 \Rightarrow \frac{\partial^{2} \ln F (x)}{\partial x^{2}} \leq {(\frac{F^{'} (x)}{F (x)})}^{2} = = {(\frac{\partial \ln F (x)}{\partial x})}^{2}

$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$

— Alecos Papadopoulos
nguồn