Mật độ phân phối bình thường khi kích thước tăng

Câu hỏi tôi muốn hỏi là: tỷ lệ mẫu trong 1 SD của giá trị trung bình của phân phối bình thường thay đổi như thế nào khi số lượng biến thiên tăng?

(Hầu hết) mọi người đều biết rằng trong phân phối chuẩn 1 chiều, có thể tìm thấy 68% mẫu trong phạm vi 1 độ lệch chuẩn của giá trị trung bình. Còn về kích thước 2, 3, 4, ... thì sao? Tôi biết nó sẽ ít hơn ... nhưng bao nhiêu (chính xác)? Sẽ rất hữu ích khi có một bảng hiển thị các số liệu cho 1, 2, 3 ... 10 kích thước, cũng như 1, 2, 3 ... 10 SD. Bất cứ ai có thể chỉ vào một bảng như vậy?

Thêm một chút bối cảnh - Tôi có một cảm biến cung cấp dữ liệu trên 128 kênh. Mỗi kênh phải chịu tiếng ồn điện (độc lập). Khi tôi cảm nhận được một đối tượng hiệu chuẩn, tôi có thể lấy trung bình đủ số lượng phép đo và nhận giá trị trung bình trên 128 kênh, cùng với 128 độ lệch chuẩn riêng lẻ.

NHƯNG ... khi nói đến các lần đọc tức thời riêng lẻ, dữ liệu không phản hồi giống như 128 lần đọc riêng lẻ giống như một lần đọc số lượng vectơ 128 (tối đa). Chắc chắn đây là cách tốt nhất để điều trị một vài bài đọc quan trọng mà chúng tôi thực hiện (thường là từ 4 đến 128).

Tôi muốn cảm nhận về sự biến đổi "bình thường" và "ngoại lệ" trong không gian vectơ này là gì. Tôi chắc chắn rằng tôi đã thấy một bảng giống như bảng mà tôi mô tả sẽ áp dụng cho loại tình huống này - có ai có thể chỉ ra một bảng không?

normal-distribution multivariate-analysis

— omatai
nguồn

Xin vui lòng - tôi chỉ có thể có câu trả lời theo kinh nghiệm - tôi không hiểu hầu hết các ký hiệu toán học.

— omatai

Hãy lấy : mỗi là bình thường và là độc lập - Tôi đoán đó là ý của bạn với kích thước cao hơn. $X = (X_1,\dots,X_d) \sim N(0,I)$ $X_i$ $N(0,1)$ $X_i$

Bạn sẽ nói rằng nằm trong 1 sd của giá trị trung bình khi (khoảng cách giữa X và giá trị trung bình của nó thấp hơn 1). Bây giờ để điều này xảy ra với xác suất nơi $X$ $||X|| < 1$ $||X||^2 = X_1^2 +\cdots+X_d^2\sim \chi^2(d)$ $P( \xi < 1 )$ $\xi\sim\chi^2(d)$ . Bạn có thể tìm thấy điều này trong các bảng vuông chi tốt ...

Dưới đây là một vài giá trị:

\begin{array}{ll} d & P (ξ < 1) \\ 1 & 0.68 \\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018 \\ 9 & 0.00056 \\ 10 & 0.00017 \end{array}

$\begin{array}{ll} d& P(\xi < 1)\\ 1 & 0.68\\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018\\ 9 & 0.00056\\ 10& 0.00017\\ \end{array}$

Và cho 2 sd:

\begin{array}{ll} d & P (ξ < 4) \\ 1 & 0.95 \\ 2 & 0.86 \\ 3 & 0.74 \\ 4 & 0.59 \\ 5 & 0.45 \\ 6 & 0.32 \\ 7 & 0.22 \\ 8 & 0.14 \\ 9 & 0.089 \\ 10 & 0.053 \end{array}

$\begin{array}{ll} d & P(\xi < 4)\\ 1 & 0.95\\ 2 & 0.86\\ 3 & 0.74\\ 4 & 0.59\\ 5 & 0.45\\ 6 & 0.32\\ 7 & 0.22\\ 8 & 0.14\\ 9 & 0.089\\ 10 & 0.053\\ \end{array}$

Bạn có thể nhận các giá trị trong R với commads như pchisq(1,df=1:10), pchisq(4,df=1:10)vv

Post Scriptum Như hồng y đã chỉ ra trong các bình luận, người ta có thể ước tính hành vi tiệm cận của các xác suất này. CDF của một biến là $\chi^2(d)$ nơilàkhông đầy đủ -function, và classicaly.

F_{d} (x) = P (d / 2, x / 2) = \frac{γ (d / 2, x / 2)}{Γ (d / 2)}

$F_d(x) = P(d/2,x/2) = {\gamma(d/2, x/2) \over \Gamma(d/2)}$

γ (s, y) = \int_{0}^{y} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\gamma(s,y) = \int_0^y t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

γ

$\gamma$

Γ (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

Khi là một số nguyên, lặp đi lặp lại lồng ghép bằng các bộ phận cho thấy $s$ đó là đuôi của CDF của bản phân phối Poisson.

P (s, y) = e^{- y} \sum_{k = s}^{\infty} \frac{y^{k}}{k!},

$P(s,y) = e^{-y} \sum_{k=s}^\infty {y^k \over k!},$

Bây giờ số tiền này bị chi phối bởi nhiệm kỳ đầu tiên của mình (nhiều nhờ vào hồng y): $P(s,y) \sim {y^s \over s!} e^{-y}$ $s$ $d$

P (ξ < x) = P (d / 2, x / 2) \sim \frac{1}{(d / 2)!} {(\frac{x}{2})}^{d / 2} e^{- x / 2} \sim \frac{1}{\sqrt{π d}} e^{\frac{1}{2} (d - x)} {(\frac{x}{d})}^{\frac{d}{2}} \sim \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{1}{2} x} d^{- \frac{1}{2} d},

$P(\xi < x) = P(d/2,x/2) \sim {1 \over (d/2)!} \left({x\over 2}\right)^{d/2} e^{-x/2} \sim {1\over\sqrt{\pi d}}e^{{1\over 2}(d-x)} \left({x\over d}\right)^{d\over 2} \sim {1\over\sqrt\pi} e^{-{1\over 2}x} d^{-{1\over 2}d},$

d

$d$

d

$d$

— Elvis
nguồn

Chào mừng đến với trang web của chúng tôi, Elvis! Câu trả lời tốt đẹp. (+1)

— whuber

ξ

$\xi$

d

$d$

Cảm ơn bạn đã bình luận của bạn. Tôi không nghĩ câu trả lời này sẽ nhận được nhiều sự chú ý! Đúng là đây là một hình thức hay của lời nguyền về chiều ... @cardinal liên quan (3) Tôi không biết bất kỳ sự tiệm cận nào tương đương với chức năng gamma không hoàn chỉnh khi các tham số đầu tiên chuyển sang vô cùng, lần thứ hai được cố định, điều này No không hê dê dang! Một chuyên ngành thô có thể được thực hiện, tôi có thể viết điều đó sau.

— Elvis

Về ( 3 ), để tránh tính toán, bạn có thể sử dụng đối số sau: Hãy

d

$d$ thậm chí và như vậy

d = 2 k

$d = 2 k$ . Lưu ý rằng

Z_{i} = X_{2 i - 1}^{2} + X_{2 i}^{2}

$Z_i = X_{2i-1}^2 + X_{2i}^2$ là một

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$ biến ngẫu nhiên. Vì thế

‖ X ‖^{2} = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}

$\|X\|^2 = \sum_{i=1}^k Z_i$ . Nhưng sau đó

‖ X ‖^{2}

$\|X\|^2$ chỉ là thời gian cho đến khi

k

$k$ đổi mới lần thứ hai của quy trình Poisson với tỷ lệ 1/2. Vì thế

P (‖ X ‖^{2} < 1) = P (N_{1 / 2} (0, 1) \geq k) = e^{- 1 / 2} \sum_{x = k}^{\infty} 2^{- x} / x!

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) = \mathbb P( N_{1/2}(0,1) \geq k) = e^{-1/2} \sum_{x=k}^\infty 2^{-x}/x!$ . Đuôi của Poisson bị chi phối bởi thuật ngữ hàng đầu, vì vậy

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1)

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1)$ như

d \to \infty

$d\to\infty$ (Lần nữa:

k = d / 2

$k = d/2$ ).

— hồng y

Một phần của ý kiến đã nói ở trên là chúng tôi nhận được câu trả lời chính xác cho tất cả

d

$d$ . Ngoài ra, bằng cách sử dụng xấp xỉ của Stirling, chúng tôi nhận được rằng

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1) \sim e^{(d - 1) / 2} d^{- (d + 1) / 2} / \sqrt{π}

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1) \sim e^{(d-1)/2} d^{-(d+1)/2} / \sqrt{\pi}$ .

— cardinal