Phân phối này có tên không?

23

Nó xảy ra với tôi ngày hôm nay rằng sự phân bố có thể được xem như một sự thỏa hiệp giữa các bản phân phối Gaussian và Laplace, chovàPhân phối như vậy có tên không? Và nó có một biểu thức cho hằng số chuẩn hóa của nó không? Các tính toán gốc cây tôi, bởi vì tôi không biết làm thế nào để thậm chí bắt đầu giải quyết chotrong không thể thiếu

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax nói phục hồi Monica
nguồn

34

Câu trả lời ngắn

$Y = X-\mu$

Subbotin, MT (1923), Về quy luật tần số lỗi, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

người vào pdf ở phương trình 5, có dạng:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

$K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Câu trả lời dài hơn

Thật không may, Wikipedia không phải lúc nào cũng 'cập nhật', hoặc chính xác, hoặc đôi khi chỉ là 80 năm sau thời đại. Sau Subbotin (1923), bản phân phối đã được sử dụng rộng rãi trong tài liệu, bao gồm:

Diananda, PH (1949), Lưu ý về một số tính chất của ước tính khả năng tối đa, Kỷ yếu của Hiệp hội triết học Cambridge, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), Về phương pháp ước lượng heuristic, Sinh trắc học, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. và Thompson, M. (1970), Hồi quy tuyến tính với các thuật ngữ lỗi không bình thường, Tạp chí Kinh tế và Thống kê, 52, 280-286.
McDonald, JB và Newey, WK (1988), Ước tính một phần thích nghi của mô hình hồi quy thông qua phân phối t tổng quát, Lý thuyết kinh tế lượng, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. và Balakrishnan, N. (1995), Phân phối đơn biến liên tục, tập 2, ấn bản 2, Wiley: New York (1995, tr.422)
Mineo, AM và Ruggieri, M. (2005), Một công cụ phần mềm để phân phối lũy thừa: gói normalp, Tạp chí phần mềm thống kê, 12 (4), 1-21.

... Tất cả trước khi bài viết được tham chiếu trên Wiki. Ngoài 80 năm lỗi thời, cái tên được sử dụng trên Wiki 'a Generalized Normal' cũng có vẻ không phù hợp bởi vì có vô số các bản phân phối là khái quát của Bình thường, và trong bất kỳ trường hợp nào, tên này đều mơ hồ đối với tài liệu. Nó cũng không thừa nhận tác giả ban đầu.

— chó sói
nguồn

17

\int_{0}^{\infty} điểm kinh nghiệm {- x^{p}} d x \overset{y = = x^{p}}{= =} \int_{0}^{\infty} điểm kinh nghiệm {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = = y^{1 / p}}{= =} \int_{0}^{\infty} điểm kinh nghiệm {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$ Vì thế

\int_{- \infty}^{\infty} điểm kinh nghiệm {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Tây An
nguồn

2

D'oh. Of course. And chance you happen to know if it has a name?

— Sycorax says Reinstate Monica

1

It is somewhat connected with the[ Weibull and Fréchet distributions](en.wikipedia.org/wiki/…), however those have a power term in front of the exponential. It is thus more of a Gaussian distribution for another metric that the quadratic distance.

— Xi'an

1

+1 It wouldn't be wrong to call this a "power Gamma" distribution.

— whuber

13

According to Wikipedia, this is known as Generalized normal distribution (version 1 in the article), and the restriction $p\in [1,2]$ is not required but any positive value is fine.

The reference given in Wikipedia is Saralees Nadarajah (2005) A generalized normal distribution, Journal of Applied Statistics, 32:7, 685-694, DOI: 10.1080/02664760500079464. This article mentions that the normalization constant is found by 'simple integration' - I presume following Xi'an's answer.

— Juho Kokkala
nguồn