Trong CLT, tại sao ?

10

Đặt là các quan sát độc lập từ một bản phân phối có ý nghĩa và phương sai , khi , sau đó $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Tại sao điều này ngụ ý rằng

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
nguồn

Có thể điều này không được nhấn mạnh đủ rõ bên dưới, nhưng câu lệnh có ý nghĩa toán học và đúng trong khi câu lệnh là vô lý về mặt toán học, do đó, như đã nói, thậm chí không sai .

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— Đã làm

17

Bạn giải thích hơi sai. Định lý giới hạn trung tâm (CLT) ngụ ý rằng

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Điều này là do CLT là một kết quả tiệm cận và chúng tôi đang thực tế chỉ xử lý các mẫu hữu hạn. Tuy nhiên, khi kích thước mẫu đủ lớn, thì chúng tôi giả sử rằng kết quả CLT đúng với xấp xỉ, và do đó

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Điều này là do đối với một biến ngẫu nhiên và các hằng số , (điều này được sử dụng trong bước thứ hai) và , (điều này được sử dụng trong bước cuối cùng thứ hai). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Đọc này để giải thích thêm về đại số.

— Công viên xanh
nguồn

Bạn có thể làm rõ "đại số" nào bạn đang sử dụng khi lấy các thuật ngữ từ LHS của cho RHS không?

\sim

$\sim$

— mavavilj

Tôi đã làm rõ đại số. Hầu hết trong số đó là sử dụng các thuộc tính của phương sai và kỳ vọng.

— Greenparker

Tại sao không phải là thuật ngữ thứ hai của trở thành ?

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

3

Vì . Theo trực giác, việc thêm một số không đổi vào một biến ngẫu nhiên không làm thay đổi phương sai của nó.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

10

Cách dễ nhất để thấy điều này là bằng cách xem giá trị trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên . $\bar X_n$

Vì vậy, nói rằng giá trị trung bình bằng 0 và phương sai là một. Do đó, chúng tôi có nghĩa là: $\mathcal{N}(0,1)$

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$ Sử dụng , trong đó là hằng số, chúng ta nhận được:

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Bây giờ, sử dụng , trong đó là hằng số, chúng tôi nhận được sau đây cho phương sai: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

Bây giờ, chúng ta đã biết giá trị trung bình và phương sai của và phân phối Gaussian (bình thường) với các giá trị trung bình và phương sai này là $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Bạn có thể tự hỏi tại sao đi qua tất cả các đại số? Tại sao không trực tiếp chứng minh rằng hội tụ thành ? $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Lý do là trong toán học, rất khó (không thể?) Để chứng minh sự hội tụ để thay đổi mọi thứ, tức là bên phải của toán tử hội tụ phải được sửa để các nhà toán học sử dụng các thủ thuật của họ để chứng minh các phát biểu. Biểu thức thay đổi với , đây là một vấn đề. Vì vậy, các nhà toán học biến đổi các biểu thức theo cách như vậy, rằng phía bên tay phải được cố định, ví dụ là một bên tay phải cố định đẹp. $\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
nguồn

4

Nó không ngụ ý tính quy phạm của , ngoại trừ gần đúng. Nhưng nếu chúng ta giả vờ một lúc rằng là chính xác tiêu chuẩn bình thường thì chúng ta có kết quả là bình thường khi bình thường . Một cách để thấy điều này là thông qua chức năng tạo khoảnh khắc $\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

đó là mgf bình thường $(\mu, \tau^2)$

— DS
nguồn

Tại sao hàm tạo thời điểm chứng minh nó cho phân phối?

— mavavilj

1

Đây là kết quả từ xác suất. Nếu hai biến ngẫu nhiên có cùng hàm tạo thời điểm thì chúng bằng nhau trong phân phối.

— DSaxton