Một câu hỏi định lý giới hạn trung tâm khác

11

Đặt là một chuỗi các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với Đặt Cho thấy hội tụ trong phân phối cho biến thông thường tiêu chuẩn khi có xu hướng vô cùng. $\{X_n:n\ge1\}$
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ $\frac{S_n}{B_n}$ $Z$ $n$

Nỗ lực của tôi là sử dụng Lyapunov CLT, do đó chúng tôi cần chứng minh có tồn tại một sao cho $\delta>0$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

Vì vậy, đặt $\delta=1$

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$ và

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

Bằng cách đánh giá n lớn trên máy tính, nó cho thấy cả $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ và $B_n^3 \to \infty$ như $n \to \infty$ . Nhưng $B_n^3$ tăng nhanh hơn $B_n^2$ nên $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ . Ai đó có thể giúp tôi chứng minh sự hội tụ này không?

probability convergence central-limit-theorem

— TiffanyButoston
nguồn

7

Đây là ví dụ 27.3 về Xác suất và Đo lường của Patrick Billingsley.

— Zhanxiong

10

Có thể được hướng dẫn để chứng minh kết quả này từ các nguyên tắc đầu tiên và kết quả cơ bản , khai thác các thuộc tính của các hàm tạo tích lũy (chính xác như trong các bằng chứng tiêu chuẩn của Định lý giới hạn trung tâm). Nó đòi hỏi chúng ta phải hiểu tốc độ tăng trưởng của các số hài tổng quát cho Các tốc độ tăng trưởng này nổi tiếng và dễ dàng đạt được khi so sánh với các tích phân : chúng hội tụ cho và nếu không thì phân kỳ logarit cho .

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

Đặt và . Theo định nghĩa, hàm tạo tích lũy (cgf) của là $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

Sự mở rộng chuỗi của phía bên tay phải, thu được từ việc mở rộng quanh , có dạng $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

Các tử số của các phân số là đa thức tính bằng với số hạng đầu . Bởi vì mở rộng nhật ký hội tụ hoàn toàn cho , bản mở rộng này hội tụ hoàn toàn khi $k$ $k^{j-1}$ $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

(Trong trường hợp nó hội tụ ở mọi nơi.) Đối với giá trị cố định và tăng của , độ phân kỳ (rõ ràng) của ngụ ý miền hội tụ tuyệt đối tăng lên tùy ý. Do đó, đối với bất kỳ cố định và đủ lớn , sự mở rộng này hội tụ hoàn toàn. $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

Do đó, đối với đủ lớn , chúng tôi có thể tính tổng theo kỳ hạn theo quyền hạn của để có được cgf của , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

Lấy các số hạng trong tổng số trên một lần yêu cầu chúng ta đánh giá các biểu thức tỷ lệ với $k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

cho và . Sử dụng sự không triệu chứng của các số hài tổng quát được đề cập trong phần giới thiệu, nó dễ dàng theo sau $j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

B_{n}^{2} = H (n, 1) - H (n, 2) \sim \log (n)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

cái đó

b (1, j) \sim (\log (n))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

và (đối với ) $s \gt 1$

b (s, j) \sim (\log (n))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

khi phát triển lớn. Do đó, tất cả các điều khoản trong việc mở rộng ngoài hội tụ về 0, khi đó hội tụ đến cho bất kỳ giá trị nào của . Do sự hội tụ của cgf ngụ ý sự hội tụ của hàm đặc trưng, chúng tôi kết luận từ Định lý liên tục Levy rằng tiếp cận một biến ngẫu nhiên có cgf là : đó là biến Bình thường tiêu chuẩn, QED . $n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$

Phân tích này chỉ ra mức độ hội tụ tinh tế như thế nào: trong khi trong nhiều phiên bản của Định lý giới hạn trung tâm, hệ số của là (đối với ), ở đây hệ số là chỉ : sự hội tụ chậm hơn nhiều. Theo nghĩa này, chuỗi các biến được tiêu chuẩn hóa "chỉ vừa đủ" trở thành Bình thường. $t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

Chúng ta có thể thấy sự hội tụ chậm này trong một loạt mô phỏng. Các biểu đồ hiển thị lần lặp độc lập cho bốn giá trị của . Các đường cong màu đỏ là đồ thị của các hàm mật độ chuẩn thông thường để tham khảo trực quan. Mặc dù rõ ràng là có xu hướng dần dần về tính quy tắc, ngay cả ở (trong đó vẫn còn khá lớn) vẫn có sự phi quy tắc đáng chú ý, được chứng minh trong độ lệch (bằng trong mẫu này). (Không có gì ngạc nhiên khi độ lệch của biểu đồ này gần với , vì đó chính xác là thuật ngữ trong cgf là gì.) $10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

Đây là Rmã cho những người muốn thử nghiệm thêm.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
nguồn

6

Bạn đã có một câu trả lời tuyệt vời rồi. Nếu bạn cũng muốn hoàn thành bằng chứng của riêng mình, bạn có thể lập luận như sau:

Vì hội tụ cho tất cả và phân kỳ cho ( ở đây ), chúng tôi có thể viết $\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

Cùng một lập luận,

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

Do đó, và, do đó, $S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

đó là những gì chúng tôi muốn thể hiện.

— ekvall
nguồn

2

Đầu tiên các biến ngẫu nhiên của bạn không được phân phối giống hệt nhau nếu các phân phối phụ thuộc vào ;) $k$

Ngoài ra tôi sẽ không sử dụng ký hiệu của bạn như: $B_n$

chữ in hoa thường được dành cho các biến ngẫu nhiên.
nó chỉ là tổng của các phương sai nên tôi sẽ sử dụng một ký hiệu liên quan đến biểu tượng để làm cho điều này trở nên rõ ràng. $\sigma$

Sau đó, liên quan đến câu hỏi tôi không biết đây là bài tập hay nghiên cứu và công cụ nào bạn được phép sử dụng. Nếu bạn không cố gắng chứng minh lại các định lý đã biết, tôi chỉ nói rằng đó là một định lý giới hạn trung tâm cho RV không phân phối độc lập nhưng bị ràng buộc thống nhất và gọi nó là một ngày. Tôi không có nguồn tốt trong tay nhưng không quá khó để tìm một nguồn, ví dụ: hãy xem /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- for-ràng buộc-không xác định-phân phối-ngẫu nhiên .

Chỉnh sửa: Điều xấu của tôi, tất nhiên điều kiện giới hạn đồng đều là không đủ, bạn cũng cần

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— Adrien
nguồn