8

Ví dụ, làm thế nào có thể phân phối Gamma gần 0 (đối với một tập hợp các tham số hình dạng và tỷ lệ thích hợp, giả sử hình dạng và tỷ lệ ) và vẫn có diện tích bằng một? $=0.1$ $=10$

Theo tôi hiểu, diện tích phân bố mật độ xác suất phải luôn bằng một. Nếu bạn lấy phân phối delta dirac, phân kỳ ở 0 nhưng bằng 0 ở bất kỳ nơi nào khác, bạn có diện tích bằng một.

Bằng cách nào đó, nếu bạn lấy khu vực phân phối Gamma phân kỳ, bạn có thể biểu thị nó là khu vực phân phối đồng bằng dirac, cộng với một cái gì đó nhiều hơn vì nó có trọng số khác không tại , vì vậy nó sẽ lớn hơn một. $x\neq0$

Ai đó có thể giải thích cho tôi lý do của tôi đi sai ở đâu?

probability distributions

— Delphine
nguồn

1

Có rất nhiều phân phối (như phân phối bình thường) được xác định trên toàn bộ dòng thực,

> 0

$> 0$ ở mọi nơi, nhưng có diện tích hữu hạn. Lấy (góc phần tư chính của) phân phối đó và lật nó về dòng

x = y

$x=y$ . Bây giờ bạn có một phân phối với cùng một khu vực phân kỳ tại

x = 0

$x=0$ .

— BlueRaja - Daniel Pflughoeft

Tra cứu "Nghịch lý của Zeno" - nó có thể thú vị với bạn ở đây

— Shadowtalker

@Delphine Thời gian để lý thuyết đo lường! chúc may mắn!

— bdeonovic

8

Bằng cách nào đó, nếu bạn lấy diện tích phân phối Gamma phân kỳ, bạn có thể biểu thị nó là diện tích của phân phối delta dirac, cộng với một cái gì đó nhiều hơn vì nó có trọng số khác không tại , vì vậy nó sẽ lớn hơn một. $x \neq 0$

Đó là lý do của bạn sai: bạn không thể tự động diễn đạt bất kỳ chức năng nào là vô hạn tại dưới dạng phân phối delta cộng với một cái gì đó nữa. Xét cho cùng, nếu bạn có thể làm điều này với , ai là để nói rằng bạn có thể không còn làm điều đó với ? Hoặc ? Hoặc bất kỳ hệ số khác? Thật hợp lý khi nói rằng các phân phối đó bằng 0 cho và vô hạn tại ; Tại sao không sử dụng cùng một lý do với họ? $x = 0$ $\delta(x)$ $2\delta(x)$ $10^{-10}\delta(x)$ $x\neq 0$ $x = 0$

Trên thực tế, các phân phối (theo nghĩa toán học của lý thuyết phân phối) nên được nghĩ đến giống như các hàm của các hàm - bạn đặt vào một hàm và lấy ra một số. Đối với phân phối delta cụ thể, nếu bạn đặt hàm , bạn nhận được số $f$ $f(0)$ . Phân phối không phải là chức năng số-số bình thường. Chúng phức tạp hơn và có khả năng hơn các chức năng "thông thường" như vậy.

Ý tưởng biến một hàm thành một số khá quen thuộc với bất kỳ ai đã từng xử lý xác suất. Ví dụ, chuỗi các khoảnh khắc phân phối - trung bình, độ lệch chuẩn, độ lệch, kurtosis, v.v. - tất cả có thể được coi là các quy tắc biến một hàm (phân phối xác suất) thành một số (thời điểm tương ứng). Lấy giá trị trung bình / kỳ vọng, ví dụ. Quy tắc này quay một phân bố xác suất vào số , được tính như $P(x)$ $E_P[x]$ Hoặc sự cai trị cho biến biến vào số , nơi

E_{P} [x] = \int P (x) x d x

$E_P[x] = \int P(x)\,x\ \mathrm{d}x$

P (x)

$P(x)$

σ_{P}^{2}

$\sigma_P^2$

Ký hiệu của tôi hơi lạ ở đây, nhưng hy vọng bạn có được ý tưởng. ¹

σ_{P}^{2} [x] = \int P (x) (x - E_{P} [x])^{2} d x

$\sigma_P^2[x] = \int P(x)\,(x - E_P[x])^2\ \mathrm{d}x$

Bạn có thể nhận thấy một số điểm mà các quy tắc này có điểm chung: trong tất cả chúng, cách bạn nhận được từ hàm này sang số là bằng cách tích hợp hàm nhân với một số hàm trọng số khác. Đây là một cách rất phổ biến để biểu diễn các phân phối toán học. Vì vậy, nó là tự nhiên kỳ diệu, là có một số chức năng trọng cho phép bạn đại diện cho hành động của một phân phối đồng bằng như thế này? $\delta(x)$ Bạn có thể dễ dàng thiết lập rằngnếucó một hàm như vậy, thì nó phải bằng tại mọi . Nhưng bạnkhông thểnhận được giá trị cho theo cách này. Bạn có thể chỉ ra rằng nó lớn hơn bất kỳ số hữu hạn nào, nhưng không có giá trị thực tế nào cho làm cho phương trình này hoạt động, sử dụng các ý tưởng tích hợp tiêu chuẩn.

f \to \int δ (x) f (x) d x

$f\to \int \delta(x)\, f(x)\ \mathrm{d}x$

0

$0$

x \neq 0

$x\neq 0$

δ (0)

$\delta(0)$

δ (0)

$\delta(0)$ ²

Lý do cho điều đó là có nhiều đến sự phân bố đồng bằng hơn là chỉ này: That " " được gây hiểu lầm. Nó đại diện cho toàn bộ thông tin bổ sung về phân phối delta mà các hàm bình thường không thể biểu thị. Và đó là lý do tại sao bạn không thể nói một cách có ý nghĩa rằng phân phối gamma "nhiều" hơn phân phối delta. Chắc chắn, tại bất kỳ , giá trị của phân phối gamma nhiều hơn giá trị của phân phối delta, nhưng tất cả các thông tin hữu ích về phân phối delta đều bị khóa tại điểm đó tại

{\begin{cases} 0, & x \neq 0 \\ \infty, & x = 0 \end{cases}

$\begin{cases}0, & x\neq 0 \\ \infty, & x = 0\end{cases}$

\infty

$\infty$

x > 0

$x > 0$

x = 0

$x = 0$ và thông tin đó quá phong phú và phức tạp để cho phép bạn nói rằng một phân phối nhiều hơn phân phối khác.

Chi tiết kỹ thuật

¹ Trên thực tế, bạn có thể lật mọi thứ xung quanh và nghĩ rằng chính phân phối xác suất là phân phối toán học. Theo nghĩa này, phân phối xác suất là một quy tắc có hàm trọng số, như hoặc , thành một số, hoặc $x$ $(x - E[x])^2$ $E[x]$ $\sigma_x^2$ . Nếu bạn nghĩ về nó theo cách đó, ký hiệu chuẩn có ý nghĩa hơn một chút, nhưng tôi nghĩ rằng ý tưởng tổng thể là một chút ít tự nhiên cho một bài viết về phân phối toán học.

² Cụ thể, bằng "ý tưởng tích hợp tiêu chuẩn", tôi đang tham gia tích hợp Riemann và tích hợp Lebesgue , cả hai đều có thuộc tính hai hàm chỉ khác nhau tại một điểm phải có cùng một tích phân (có cùng giới hạn). Nếu có một hàm , nó sẽ khác với chức năng tại chỉ có một điểm, cụ thể là , và do đó tích phân hai chức năng sẽ luôn luôn phải được như vậy. $\delta(x)$ $0$ $x = 0$ Vì vậy, không có số bạn có thể gán chomà làm cho nó tái tạo các ảnh hưởng của sự phân bố đồng bằng.

\int_{a}^{b} δ (x) f (x) d x = \int_{a}^{b} (0) f (x) d x = 0

$\int_a^b \delta(x)f(x)\ \mathrm{d}x = \int_a^b (0)f(x)\ \mathrm{d}x = 0$

δ (0)

$\delta(0)$

— David Z
nguồn

10

Đồng bằng Dirac thực sự không quá hữu ích ở đây (mặc dù nó rất thú vị), vì phân phối Gamma có mật độ liên tục, trong khi Dirac không liên tục như bạn có thể nhận được.

Bạn đúng rằng tích phân của mật độ xác suất phải là một (tôi sẽ chỉ tuân theo mật độ được xác định trên trục dương),

\int_{0}^{\infty} f (x) d x = 1.

$\int_0^\infty f(x)\,dx =1.$

$f(x)$ $x\to 0$

\int_{0}^{\infty} f (x) d x := lim_{a \to 0} \int_{a}^{\infty} f (x) d x,

$\int_0^\infty f(x)\,dx := \lim_{a\to 0}\int_a^\infty f(x)\,dx,$

miễn là giới hạn này tồn tại .

$\int^\infty$ $\int^b$ $b\to\infty$ $0$ $\infty$

Đối với phân phối Gamma cụ thể, chúng tôi loại vấn đề phụ. Trước tiên chúng ta định nghĩa hàm Gamma như sau:

Γ (k) := \int_{0}^{\infty} y^{k - 1} e^{- y} d y .

$\Gamma(k) := \int_0^\infty y^{k-1}e^{-y}\,dy.$

$k>0$ $k$

$x:=\theta y$ $\theta>0$

Γ (k) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}}}{θ^{k}} d x,

$\Gamma(k) = \int_0^\infty \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^k}\,dx,$

từ đó chúng ta có được điều đó

1 = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}}}{Γ (k) θ^{k}} d x .

$1 = \int_0^\infty \frac{x^{k-1}e^{-\frac{x}{\theta}}}{\Gamma(k)\theta^k}\,dx.$

$k$ $\theta$

Bây giờ, tôi nhận ra rằng tôi thực sự đã vượt qua cái xô ở đây. Phần cốt lõi của lập luận nằm ở chỗ định nghĩa hàm Gamma ở trên có ý nghĩa. Tuy nhiên, đây là phép tính đơn giản, không phải thống kê, vì vậy tôi chỉ cảm thấy rất có lỗi khi giới thiệu bạn đến sách giáo khoa tính toán yêu thích của bạn và thẻ chức năng gamma tại Math.SO , đặc biệt là câu hỏi này và câu hỏi này .

— Stephan Kolass
nguồn

Tôi thực sự nên quay lại với những cuốn sách của mình, đã được một lúc rồi! Cảm ơn các câu trả lời chi tiết!

— Delphine

7

$f(x)=\exp(-x)\,,\:x>0$ $y=f(x)$ $x$ (bảng bên trái trong sơ đồ bên dưới).

$x>0$ $1$ .

$x$ $y$ $x=\exp(-y)$ $y = -\ln(x)$ $0<x\leq 1$ $y$ $x\to 0$

Rõ ràng, sau đó, mật độ có thể không bị ràng buộc nhưng có khu vực 1.

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

4

Đây thực sự là một câu hỏi tính toán, hơn là thống kê. Bạn đang hỏi làm thế nào một hàm đi đến vô cùng tại một số giá trị của đối số của nó vẫn có thể có một vùng hữu hạn dưới đường cong?

$y=1/x$ $x=[0,\infty)$

\int_{0}^{\infty} 1 / x d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} \frac{Δ x_{i}}{x_{i}}

$\int_0^\infty 1/x dx=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{i=0}^n \frac{\Delta x_i}{x_i}$

x_{i}

$x_i$

Δ x_{i}

$\Delta x_i$

1 / x_{i}

$1/x_i$

Δ x_{i}

$\Delta x_i$

1 / x_{i}

$1/x_i$

$\Delta x_i$

— Aksakal
nguồn

0

Nhìn vào ví dụ sau. Lưu ý rằng đối với bất kỳ hữu hạn $N$ ,

\int_{0}^{N} \frac{1}{x} d x = \log (N) - \log (0)

$\int_0^N \frac{1}{x} dx = \log(N)-\log(0)$

$\log(0)$ $\infty$

\int_{0}^{N} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = \sqrt{N} - \sqrt{0} = \sqrt{N}

$\int_0^N \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \sqrt{N} - \sqrt{0} = \sqrt{N}$

Nói chung, điều này dựa trên ý tưởng rằng

\int \frac{1}{x^{p}} d x = x^{1 - p}

$\int \frac{1}{x^p} dx = x^{1-p}$

$1-p>0$ $p$ là tốc độ) mà khu vực vẫn bị giới hạn.

Điều này tương tự như sự hội tụ của loạt. Hãy nhớ lại rằng bằng thử nghiệm p, chúng ta có điều đó

\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}

$\sum_0^\infty \frac{1}{x^p}$

$p>1$ $x^p \rightarrow \infty$ $p$ $1$ là bước ngoặt.

$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{12\sqrt{3}}\sim 0.05$ . Vì diện tích nhỏ hơn nhiều so với chu vi (nó là phép nhân của hai số nhỏ thay vì cộng!), Bạn có thể chọn thêm hình tam giác sao cho chu vi đi đến vô cùng trong khi diện tích vẫn hữu hạn. Để làm như vậy, bạn phải chọn tốc độ mà các hình tam giác về 0 và như bạn có thể đoán bây giờ, có một tốc độ mà nó chuyển từ quá chậm và cho diện tích vô hạn để đủ nhanh để cung cấp diện tích hữu hạn.

$\Gamma$ $\Gamma$

— Chris Rackauckas
nguồn

Đó là rất nhiều điểm tốt, cảm ơn! Tôi sẽ nhớ điều này

— Delphine

Làm thế nào một phân phối xác suất có thể phân kỳ?

Chi tiết kỹ thuật