Phân phối đa thức bậc hai của biến ngẫu nhiên Gaussian

Tôi muốn tính

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

trong đó . Tôi có thể làm điều đó khá dễ dàng bằng cách sử dụng Monte Carlo. Tuy nhiên, tôi đã được yêu cầu tìm pdf phân tích của và sau đó tính toán $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

Tôi đoán sẽ được như vậy mà chỉ có thể được tính bằng số. Tuy nhiên, vì nó là một tích phân đơn biến, nên các phương pháp số có sẵn để tính toán nó với độ chính xác rất cao. Có một biểu thức (tương đối đơn giản) cho , để tôi có thể thực hiện tích hợp số? Hoặc có một khả năng khác cho điện toán , ngoài Monte Carlo (theo ý kiến của tôi là cách tiếp cận hợp lý nhất)? $f_Y(y)$ $I$ $f_Y(y)$ $I$

— DeltaIV
nguồn

Bạn có phải tìm pdf của

trước rồi tích hợp nó qua dòng thực âm hay bạn có thể sử dụng phương pháp được chỉ ra bởi mpiktas để tránh tìm pdf của

không?

Y

$Y$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, cảm ơn câu hỏi. Tôi đã đặc biệt yêu cầu 1. tìm

và 2. tích hợp trên

. Vì vậy, một câu trả lời mà chính xác đó sẽ là tuyệt vời. Mặt khác, tôi có thể chỉ ra rằng yêu cầu này không hợp lý và tôi đã có hai phương pháp rất hay (MC và @mpiktas) hoạt động tốt. Do đó, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là: Tôi hoàn toàn không phải (Tôi sẽ không bị sa thải nếu tôi không), nhưng tôi chắc chắn sẽ đánh giá cao việc có thể làm điều đó (do đó tránh được một cuộc thảo luận khác với người yêu cầu) .

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$

— DeltaIV

OK ở đây đi. Lưu ý rằng

có thể được biểu diễn dưới dạng tiêu chuẩn Gaussian CDF

sử dụng phương pháp này được mô tả trong @ mpkitas câu trả lời. Lấy wrt phái sinh, sau đó

sẽ đưa pdf

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$ . Ngoài ra, hãy nói với người yêu cầu của bạn rằng bạn thực sự không cần to_explicitly_ tích hợp pdf để tìm

vì

có giá trị mà bạn đã xác định.

I

$I$

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate tuyệt vời! Nói cách khác,

và

trong câu trả lời của mpkitas trở thành chức năng của

, và sau đó tôi chỉ áp dụng quy tắc chuỗi cho đạo hàm. Cảm ơn rât nhiều!

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

y

$y$

— DeltaIV

Lưu ý rằng , trong đó và là gốc của đa thức . Chúng ta phải giả sử rằng và là thực và không bằng nhau, nếu không thì xác suất trong câu hỏi là không bằng hoặc một. $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ $x_1$ $x_2$ $ax^2+bx+c$ $x_1$ $x_2$

Chúng tôi có hai trường hợp.

$a>0$ $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$
$a<0$ $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

$X$

— mpiktas
nguồn

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

Y

$Y$

@ JohnA.Ramey Xem các bình luận về câu hỏi chính.

— Dilip Sarwate