Có phải mọi mô hình ARIMA (1,1,0) đều tương đương với mô hình AR (2) không?

Giả sử tôi có một chuỗi thời gian $x_t$ mà tôi muốn phù hợp bằng cách sử dụng mô hình ARIMA (1,1,0) của mẫu:

$\Delta x_t = \alpha \Delta x_{t-1} + w_t$

Điều này có thể được viết lại như sau:

$x_t - x_{t-1} = \alpha ( x_{t-1} - x_{t-2} )+ w_t$

$x_t = ( 1 + \alpha)x_{t-1} - \alpha x_{t-2} + w_t$

Phương trình cuối cùng mô tả mô hình AR (2) với các hệ số $1+\alpha$ và $-\alpha$. Tôi nhận ra rằng, tùy thuộc vào$\alpha$, mô hình AR (2) này có thể không cố định. Tuy nhiên, nếu tôi bắt đầu khác biệt, thì loạt phim tôi đang làm người mẫu không nên đứng yên.

Tôi biết rằng nếu mô hình là không cố định, nên sử dụng một diff. Nhưng kết quả sẽ khác nhau như thế nào nếu tôi sử dụng mô hình AR (2) so với mô hình ARIMA (1,1,0)? Tôi giả sử (như được gợi ý bởi R) rằng nó có vấn đề với sự hội tụ. Tuy nhiên, khi tôi yêu cầu R thực hiện các điều chỉnh, nó sẽ thực hiện cả hai điều đó và các hệ số (hầu hết) phù hợp với các quan sát của tôi ở trên. Các dự báo chắc chắn là khác nhau, mặc dù.

Nếu bất cứ ai có thể làm sáng tỏ điều này, hoặc chỉ cho tôi một tài liệu tham khảo tốt, tôi sẽ đánh giá cao nó.

Đây là mã R tôi đã sử dụng để tạo cả hai mô hình.

> set.seed(2)
> x <- arima.sim(n = 1000, model=list(order=c(1,1,0), ar=c(0.3)))
> plot(x)
> arima(x, order=c(1,1,0))

Call:
arima(x = x, order = c(1, 1, 0))

Coefficients:
         ar1
      0.3291
s.e.  0.0298

sigma^2 estimated as 1.03:  log likelihood = -1433.91,  aic = 2871.81
> arima(x, order=c(2,0,0))

Call:
arima(x = x, order = c(2, 0, 0))

Coefficients:
         ar1      ar2  intercept
      1.3290  -0.3294    50.9803
s.e.  0.0298   0.0299    35.9741

sigma^2 estimated as 1.03:  log likelihood = -1438.93,  aic = 2885.86
Warning messages:
1: In log(s2) : NaNs produced
2: In log(s2) : NaNs produced
3: In log(s2) : NaNs produced
4: In arima(x, order = c(2, 0, 0)) :
  possible convergence problem: optim gave code = 1

Dự báo cho ARIMA (1,1,0) thực thi các hạn chế đó $d=1$.

Có thể còn dễ nhìn hơn trong trường hợp AR (1) so với ARIMA (0,1,0): Cái sau chỉ là

$$\Delta y_t=\epsilon_t$$ có dự báo tối ưu là 0 ở tất cả các chân trời (chúng tôi mong đợi $\epsilon_t$để lấy giá trị bằng 0). Nếu chúng ta nhắm đến dự báo$y_t$ chính nó, chúng tôi lấy giá trị mẫu cuối cùng và chỉ tích lũy các thay đổi dự báo của $y_t$. Về cơ bản, chúng tôi hy vọng giá trị ngày mai sẽ là giá trị ngày hôm nay cộng với sự thay đổi dự kiến ​​từ hôm nay sang ngày mai.

Vì vậy, vì chúng tôi không mong đợi bất kỳ thay đổi nào ở đây, dự báo tối ưu cho việc đi bộ ngẫu nhiên như vậy là $y_T$ ($T$ là người cuối cùng trong quan sát mẫu) cho tất cả $h=T+1,\ldots$.

Mặt khác, nếu chúng ta phù hợp với mô hình AR (1), chúng ta có được ước tính $\hat\alpha$ và đưa ra các dự báo tối ưu từ mô hình AR (1) như

$$y_{T+h}=\hat\alpha^hy_T$$ Nếu lỗi ước tính (như thường xảy ra trong các mẫu hữu hạn) là như vậy $\hat\alpha$ Khác với giá trị thực của 1, dự báo sẽ khác nhau.

Sự tương đương phụ thuộc vào định nghĩa. Quá trình ARMA chung (p, q) có thể được định nghĩa là một quá trình ngẫu nhiên, là giải pháp cho phương trình sau:

$$X_t-\phi_1X_{t-1}-...-\phi_pX_{t-p}=Z_t+\theta_1 Z_{t-1}+...+\theta_qZ_{t-q},$$

Ở đâu $Z_t$là một quá trình tiếng ồn trắng. Chúng ta phải yêu cầu đa thức đó$\phi(z)=1-\phi_1 z-...-\phi_pz^p$ và $\theta(z)= 1+\theta_1z+...\theta_pz^p$ không nên có gốc chung, để phương trình được xác định duy nhất.

Bây giờ câu hỏi đặt ra, khi phương trình này có một giải pháp. Câu trả lời dựa trên tính chất của đa thức$\phi(z)$ và $\theta(z)$. Phương trình có một giải pháp đứng yên, khi đa thức không có gốc trên vòng tròn đơn vị.

Vì vậy, theo nghĩa này, ARIMA (1,1,0) không phải là quá trình AR (2), vì nó không ổn định. Nó có thể được viết là thỏa mãn phương trình AR (2), nhưng vì đa thức có gốc trên một vòng tròn đơn vị, bạn không thể giải phương trình. Tuy nhiên nếu đa thức$\phi(z)$ có một đơn vị gốc, sau đó $\Delta X_t$thỏa mãn phương trình ARMA (p-1, q) (với các đa thức khác nhau). Vì vậy, nó có thể giải quyết cho$\Delta X_t$ và quay trở lại $X_t$. Để đánh dấu sự khác biệt này, ký hiệu ARIMA (p, d, q) được sử dụng.

Vì vậy, để tổng hợp, nếu chúng ta xác định nghiêm ngặt quy trình ARMA (p, q) là một giải pháp ổn định cho phương trình ARMA (p, q), thì ARIMA (1,1,0) và AR (2) không tương đương.

Việc R quản lý để tìm ra các hệ số chính xác là một tính chất thú vị của ước lượng, nghĩa là có thể chỉ ra rằng trong trường hợp gốc đơn vị, OLS [1] sẽ đưa ra các ước tính nhất quán về các hệ số, tuy nhiên suy luận sẽ không chính xác , vì các phân phối giới hạn là không bình thường. Các xét nghiệm ADF dựa trên các ước tính như vậy. Tuy nhiên, toán học thực tế để chỉ ra rằng các ước tính là ok khá phức tạp và dựa trên các giả định nhất định. Các giả định này không khái quát tốt, do đó không nên sử dụng các phương pháp ước lượng thông thường cho các quy trình gốc đơn vị.

[1] MLE và OLS tương đương với thông số kỹ thuật loại AR (p).