Có một công thức cho tính toán trung vị?

10

Có tương đương với công thức trung bình:

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

cho trung vị?

median definition

— Craig
nguồn

16

Nếu bạn xác định là phiên bản được sắp xếp của dữ liệu gốc , thì trung vị được xác định là: $O_1, O_2, \ldots, O_N$ $X_1, X_2, \ldots, X_N$

M e d Tôi một n ({{Ôi}_{1}, {Ôi}_{2}, Giáo dục, {Ôi}_{N}}) = = {\begin{cases} {Ôi}_{(N + 1) / 2} & Tôi f N Tôi S o d d \\ ({Ôi}_{N / 2} + {Ôi}_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w Tôi S e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

Không cần sắp xếp dữ liệu của bạn, bạn có thể sử dụng định nghĩa về trung vị hình học để xác định trung vị theo một chiều:

M e d Tôi một n ({X_{1}, X_{2}, Giáo dục, X_{N}}) = = tranh luận \underset{y}{tối thiểu} Σ_{Tôi = = 1}^{N} | X_{Tôi} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

Lưu ý rằng điều này không nhất thiết phải xác định trung vị duy nhất khi có số điểm chẵn; ví dụ, bất kỳ số nào tối ưu hóa mục tiêu với . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— josliber
nguồn

3

Biểu mẫu cho thậm chí không phải là câu trả lời duy nhất - chỉ là quy ước được sử dụng. Bất kỳ giá trị nào giữa và có thể được gọi một cách hợp lý là "trung vị"

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— xác suất

1

@probabilityislogic Chắc chắn. Tôi đã thêm định nghĩa trung bình hình học, mà không nhất thiết phải là duy nhất cho chẵn.

N

$N$

— josliber

10

Một cách khác để thể hiện giá trị trung bình là ước tính "bình phương nhỏ nhất":

Σ_{Tôi = = 1}^{N} (X_{Tôi} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

Chọn là giá trị trung bình sẽ cho giá trị nhỏ nhất của tổng các lỗi bình phương. $m$

Bây giờ trung vị có thể được biểu thị dưới dạng ước tính "độ lệch nhỏ nhất tuyệt đối":

Σ_{Tôi = = 1}^{N} | X_{Tôi} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

Chọn là trung vị cho giá trị nhỏ nhất của tổng các lỗi tuyệt đối. $m$

— xác suất
nguồn

0

Giá trị trung bình là giá trị tương ứng với nửa lượng tử, tức là một nửa giá trị cao hơn, một nửa thấp hơn (xin lỗi tôi vì đã bỏ qua các trường hợp có đẳng thức hoặc khi tập hợp chẵn ...). Như vậy, đã biết rằng pdf của tập dữ liệu được biết đến, sau đó phân phối tích lũy được đánh giá dễ dàng. Lưu ý chức năng này, sau đó $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d Tôi một n = = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

Ví dụ như trường hợp cho các góc trong phương pháp này được sử dụng trong bài đánh giá này để cân bằng biểu đồ. Bảng bên trái phía dưới hiển thị các góc pdf trong một tập hợp các hình ảnh tự nhiên. là phân phối tích lũy và trung vị là giá trị của tương ứng với giá trị , xấp xỉ trong trường hợp đó. $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— meduz
nguồn