Mối quan hệ giữa poisson và phân phối theo cấp số nhân

Thời gian chờ phân phối poisson là phân phối theo cấp số nhân với tham số lambda. Nhưng tôi không hiểu nó. Poisson mô hình số lượng khách đến trên một đơn vị thời gian chẳng hạn. Làm thế nào điều này có liên quan đến phân phối theo cấp số nhân? Hãy nói rằng xác suất của k đến trong một đơn vị thời gian là P (k) (được mô hình hóa bằng poisson) và xác suất của k + 1 là P (k + 1), mô hình phân phối theo cấp số nhân thời gian chờ giữa chúng như thế nào?

Tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây để phù hợp nhất có thể với wiki (trong trường hợp bạn muốn quay lại giữa câu trả lời của tôi và các định nghĩa wiki cho poisson và hàm mũ .)

$N_t$$t$

$X_t$$t$

Theo định nghĩa, các điều kiện sau là tương đương:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

$[t,t+x]$$t+x$$t$

Theo quy tắc bổ sung, chúng tôi cũng có:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Sử dụng sự tương đương của hai sự kiện mà chúng tôi đã mô tả ở trên, chúng tôi có thể viết lại ở trên như sau:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Nhưng,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

I E

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Thay thế trong eqn ban đầu của chúng tôi, chúng tôi có:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Trên đây là cdf của pdf theo cấp số nhân.

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Bất kỳ biến ngẫu nhiên nào có hàm mật độ như thế này được cho là phân bố theo cấp số nhân.

Các câu trả lời khác làm tốt công việc giải thích toán học. Tôi nghĩ rằng nó giúp xem xét một ví dụ vật lý. Khi tôi nghĩ về một quá trình Poisson, tôi luôn quay trở lại ý tưởng về những chiếc xe hơi đi trên đường. Lambda là số lượng ô tô trung bình vượt qua trên một đơn vị thời gian, giả sử là 60 / giờ (lambda = 60). Tuy nhiên, chúng tôi biết rằng con số thực tế sẽ thay đổi - một số ngày nhiều hơn, một số ngày ít hơn. Phân phối Poisson cho phép chúng ta mô hình hóa sự thay đổi này.

Bây giờ, trung bình 60 xe mỗi giờ tương đương với trung bình 1 xe đi qua mỗi phút. Mặc dù vậy, một lần nữa, chúng ta biết sẽ có sự thay đổi về lượng thời gian giữa các lần đến: Đôi khi hơn 1 phút; lần khác ít hơn. Phân phối mũ cho phép chúng ta mô hình hóa sự biến đổi này.

Tất cả những gì đang được nói, những chiếc xe hơi đi trên đường sẽ không luôn tuân theo Quy trình Poisson. Ví dụ, nếu có tín hiệu giao thông ở ngay góc đường, khách đến sẽ bị chen chúc thay vì ổn định. Trên đường cao tốc mở, một xe đầu kéo chậm có thể chứa một hàng dài ô tô, một lần nữa gây ra tình trạng chen chúc. Trong những trường hợp này, Phân phối Poisson vẫn có thể hoạt động tốt trong khoảng thời gian dài hơn, nhưng hàm mũ sẽ thất bại nặng nề trong việc mô hình hóa thời gian đến.

Cũng lưu ý rằng có sự thay đổi lớn dựa trên thời gian trong ngày: bận rộn hơn trong thời gian đi lại; chậm hơn nhiều lúc 3 giờ sáng. Hãy chắc chắn rằng lambda của bạn phản ánh khoảng thời gian cụ thể mà bạn đang xem xét.

Phân phối Poisson thường được lấy từ Phân phối nhị thức (cả hai rời rạc). Điều này bạn sẽ tìm thấy trên Wiki.

Tuy nhiên, phân phối Poisson (rời rạc) cũng có thể được lấy từ Phân phối mũ (liên tục).

Tôi đã thêm bằng chứng vào Wiki (liên kết bên dưới):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution