Chứng minh biến đổi tích phân xác suất mà không cho rằng CDF đang tăng nghiêm ngặt

Tôi biết rằng bằng chứng về biến đổi tích phân xác suất đã được đưa ra nhiều lần trên trang web này. Tuy nhiên, các bằng chứng tôi tìm thấy sử dụng giả thuyết rằng CDF đang tăng nghiêm ngặt (tất nhiên, cùng với giả thuyết là biến ngẫu nhiên liên tục). Tôi biết rằng thực sự giả thuyết bắt buộc duy nhất là là một biến ngẫu nhiên liên tục và không yêu cầu sự đơn điệu nghiêm ngặt. Bạn có thể chỉ cho tôi làm thế nào? $F_X(x)$ $X$ $X$

Vì tôi đã ở đây, tôi cũng nhân dịp yêu cầu một ứng dụng đơn giản của biến đổi tích phân xác suất :) bạn có thể chỉ cho tôi rằng, nếu có CDF và là phép cắt của thành , sau đó được phân phối là trong đó ? $X$ $F_X(x)$ $Y$ $X$ $[a,b]$ $Y$ $F_X^{-1}(U)$ $U\sim[F_X(a),F_X(b)]$

probability cdf

— DeltaIV
nguồn

nếu bạn thật tử tế, bằng chứng về liên kết của bạn, bạn có thể chỉ ra nơi yêu cầu mà

phải được tăng lên một cách nghiêm ngặt. Cảm ơn!

F_{X} (x)

$F_X(x)$

— Erosennin

@Erosennin, bằng chứng giả định sự tồn tại nghịch đảo của

F_{X} (x)

$F_X(x)$

— DeltaIV

Cảm ơn! Nhưng có bao giờ CDF không tăng nghiêm ngặt không? Có lẽ bạn đã nghĩ về điều này, mặc dù ...

— Erosennin

Tất nhiên là có. Biến ngẫu nhiên có pdf bằng 1/2 trong [0,0,5], 0 trong [0,5,1] và 1/2 trong [1,1,5], có CDF liên tục, nhưng không tăng nghiêm ngặt.

— DeltaIV

Phần cứng là đối phó với các phần không hoàn toàn liên tục của

. Ý tưởng được làm rõ bằng cách xem xét trường hợp cực đoan của

rời rạc . Tại stats.stackexchange.com/a/36246/919 Tôi đưa ra một thuật toán thực hiện biến đổi tích phân xác suất trong trường hợp đó (cũng như cung cấp mã làm việc). Giả lập thuật toán đó cho

tùy ý sẽ trả lời câu hỏi của bạn.

F

$F$

F

$F$

F

$F$

— whuber

Trong liên kết wikipedia do OP cung cấp, biến đổi tích phân xác suất trong trường hợp đơn biến được đưa ra như sau

Giả sử rằng một biến ngẫu nhiên $X$ có phân phối liên tục trong đó hàm phân phối tích lũy (CDF) là $F_X$ . Khi đó biến ngẫu nhiên $Y=F_X(X)$ có phân phối đồng đều.
BÀI TOÁN
Cho bất kỳ biến ngẫu nhiên $X$ , xác định $Y = F_X (X)$ . Sau đó:

$\begin{aligned} F_{Y} (y) & = Prob (Y \leq y) \\ = Prob (F_{X} (X) \leq y) \\ = Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}$ $\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$

$F_Y$ $\mathrm{Uniform}(0,1)$ $Y$ $[0, 1]$

$F_X^{-1}$

F_{Z}^{- 1} (t) \equiv inf {z : F_{Z} (z) \geq t}, t \in (0, 1)

$F_Z^{-1}(t) \equiv \inf \{z : F_Z(z) \geq t \}, \;\;t\in (0,1)$

Theo định nghĩa này, hàng loạt các đẳng thức wikipedia tiếp tục được giữ, cho các CDF liên tục. Bình đẳng quan trọng là

Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) = Prob (X \leq inf {x : F_{X} (x) \geq y}) = Prob (F_{X} (X) \leq y)

$\operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_{X} (y)) = \operatorname{Prob}(X\leq \inf \{x : F_X(x) \geq y \})= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y)$

giữ bởi vì chúng tôi đang kiểm tra một CDF liên tục. Điều này trong thực tế có nghĩa là đồ thị của nó là liên tục (và không có các phần dọc, vì nó là một hàm và không phải là một sự tương ứng). Đổi lại, những ngụ ý rằng infimum (giá trị của inf {...}), biểu thị nó , sẽ luôn luôn được như vậy mà . Phần còn lại là ngay lập tức. $x(y)$ $F_X(x(y)) = y$

Về các CDF của các bản phân phối rời rạc (hoặc hỗn hợp), không phải (không thể) đúng là tuân theo thống nhất , nhưng vẫn đúng là biến ngẫu nhiên có chức năng phân phối (vì vậy vẫn có thể sử dụng lấy mẫu biến đổi nghịch đảo). Một bằng chứng có thể được tìm thấy trong Shorack, GR (2000). Xác suất cho các nhà thống kê . ch.7 . $Y=F_X(X)$ $U(0,1)$ $Z=F_{X}^{-1}(U)$ $F_X$

— Alecos Papadopoulos
nguồn

+1 Một bằng chứng tương tự cũng được cung cấp trên pg. 54 của Suy luận thống kê của Casella và Berger, ấn bản thứ hai.

— StatsStudent

@ Nhà phân tích1 Cảm ơn, thật tốt khi có nhiều tài liệu tham khảo.

— Alecos Papadopoulos