Một quan điểm hệ thống động lực của Định lý giới hạn trung tâm?

(Ban đầu được đăng trên MSE.)

Tôi đã thấy nhiều cuộc thảo luận heuristic của định lý giới hạn trung tâm cổ điển nói về phân phối chuẩn (hoặc bất kỳ phân phối ổn định nào) như là một "điểm thu hút" trong không gian của mật độ xác suất. Ví dụ, hãy xem xét những câu này ở đầu điều trị của Wikipedia :

Trong sử dụng tổng quát hơn, một định lý giới hạn trung tâm là bất kỳ tập hợp các định lý hội tụ yếu trong lý thuyết xác suất. Tất cả đều thể hiện một thực tế là một tổng số nhiều biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối (iid), hoặc các biến ngẫu nhiên khác với các loại phụ thuộc cụ thể, sẽ có xu hướng được phân phối theo một trong các phân phối thu hút nhỏ . Khi phương sai của các biến iid là hữu hạn, phân phối của bộ thu hút là phân phối chuẩn.

Ngôn ngữ hệ thống năng động này là rất gợi. Feller cũng nói về "sự hấp dẫn" trong cách đối xử với CLT trong tập thứ hai của mình (tôi tự hỏi liệu đó có phải là nguồn gốc của ngôn ngữ không), và Yuval Flimus trong ghi chú này thậm chí còn nói về "lưu vực hấp dẫn". (Tôi không nghĩ anh ấy thực sự có nghĩa là "dưới hình thức chính xác của lưu vực thu hút là deducible trước" mà là "hình thức chính xác của rất thu hút khách là trước deducible"; vẫn, ngôn ngữ là có.) Câu hỏi của tôi là: có thể những tương tự động được thực hiện chính xác?Tôi không biết về một cuốn sách mà chúng là - mặc dù nhiều cuốn sách nhấn mạnh rằng phân phối bình thường là đặc biệt cho sự ổn định của nó dưới sự tích chập (cũng như sự ổn định của nó dưới biến đổi Fourier). Điều này về cơ bản cho chúng ta biết rằng bình thường là quan trọng bởi vì nó là một điểm cố định. CLT đi xa hơn, nói với chúng tôi rằng nó không chỉ là một điểm cố định mà còn là một điểm thu hút.

Để làm cho hình ảnh hình học này chính xác, tôi tưởng tượng lấy không gian pha là không gian hàm vô hạn thích hợp (không gian của mật độ xác suất) và toán tử tiến hóa được lặp lại tích chập với điều kiện ban đầu. Nhưng tôi không có ý thức về các kỹ thuật liên quan đến việc làm cho bức tranh này hoạt động hoặc liệu nó có đáng để theo đuổi hay không.

Tôi đoán rằng vì tôi không thể tìm ra một phương pháp điều trị theo đuổi cách tiếp cận này một cách rõ ràng, nên có điều gì đó sai với ý nghĩa của tôi rằng nó có thể được thực hiện hoặc nó sẽ thú vị. Nếu đó là trường hợp, tôi muốn nghe tại sao.

EDIT : Có ba câu hỏi tương tự trong suốt Math Stack Exchange và MathOverflow mà độc giả có thể quan tâm:

• Phân phối Gaussian dưới dạng các điểm cố định trong Một số không gian phân phối (MO)
• Định lý giới hạn trung tâm thông qua entropy tối đa (MO)
• Có một bằng chứng cho định lý giới hạn trung tâm thông qua một số định lý điểm cố định? (MSE)

Sau khi thực hiện một số nghiên cứu về tài liệu, được khuyến khích bởi câu trả lời của Kjetil, tôi đã tìm thấy một vài tài liệu tham khảo về cách tiếp cận hệ thống hình học / động lực học đối với CLT, bên cạnh cuốn sách của Y. Sinai. Tôi đang đăng những gì tôi đã tìm thấy cho những người khác có thể quan tâm, nhưng tôi hy vọng vẫn được nghe từ một chuyên gia về giá trị của quan điểm này.

Ảnh hưởng đáng kể nhất dường như đến từ công việc của Charles Stein. Nhưng câu trả lời trực tiếp nhất cho câu hỏi của tôi dường như là từ Hamedani và Walter, người đã đưa một số liệu vào không gian của các hàm phân phối và cho thấy rằng tích chập tạo ra một sự co lại, tạo ra phân phối bình thường như là điểm cố định duy nhất.

• M. Anshelevich, Việc tuyến tính hóa toán tử giới hạn trung tâm trong lý thuyết xác suất tự do , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein và Q. Shao, xấp xỉ bình thường theo phương pháp của Stein , Springer, 2011.
• JA Goldstein, Semigroup - các bằng chứng lý thuyết về định lý giới hạn trung tâm và các định lý phân tích khác , Diễn đàn Semigroup 12 (1976), không. 3, 189 HÌNH 206.
• GG Hamedani và GG Walter, Một định lý điểm cố định và ứng dụng của nó vào định lý giới hạn trung tâm , Arch. Môn Toán. (Basel) 43 (1984), số 3, 258 Từ264.
• S. Swaminathan, Các bằng chứng lý thuyết điểm cố định của định lý giới hạn trung tâm, trong Lý thuyết và ứng dụng điểm cố định (Marseille, 1989), Pitman Res. Ghi chú môn Toán. Ser., Tập. 252, Khoa học dài. Tech., Harlow, 1991, trang 391 Lỗi394. Trích dẫn trong Karl Stromberg, Xác suất cho các nhà phân tích, trang 114 .

THÊM ngày 19 tháng 10 năm 2018.

Một nguồn khác cho quan điểm này là Xác suất và quy trình ngẫu nhiên của Oliver Knill với các ứng dụng , tr. 11 (nhấn mạnh thêm):

Các quy trình Markov thường được thu hút bởi các điểm cố định của toán tử Markov. Điểm cố định như vậy được gọi là trạng thái đứng yên. Họ mô tả trạng thái cân bằng và thường chúng là các biện pháp với entropy tối đa. Một ví dụ là toán tử Markov , gán cho mật độ xác suất mật độ xác suất của trong đó là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa để nó có nghĩa và phương sai . Đối với hàm ban đầu , hàm là phân phối của tổng bình thường của biến ngẫu nhiên IID$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$ . Toán tử Markov này có một điểm cân bằng duy nhất, phân phối chuẩn thông thường. Nó có entropy tối đa trong số tất cả các phân phối trên dòng thực với phương sai và trung bình . Định lý giới hạn trung tâm cho biết toán tử Markov có phân phối chuẩn là điểm cố định thu hút duy nhất nếu người ta lấy cấu trúc liên kết yếu hơn trong phân phối trên . Điều này hoạt động trong các tình huống khác quá. Ví dụ, đối với các biến ngẫu nhiên có giá trị vòng tròn, phân phối đồng đều tối đa hóa entropy. Do đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi có một định lý giới hạn trung tâm cho các biến ngẫu nhiên có giá trị vòng tròn với phân phối đồng đều là phân phối giới hạn.$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$

Văn bản "Lý thuyết xác suất Một khóa học giới thiệu" của Y Sinai (Springer) thảo luận về CLT theo cách này.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Ý tưởng là (từ bộ nhớ ...)

1) Phân phối bình thường tối đa hóa entropy (trong số các phân phối có phương sai cố định) 2) Toán tử trung bình duy trì phương sai và tăng entropy ... và phần còn lại là kỹ thuật. Vì vậy, sau đó bạn có được thiết lập hệ thống động của phép lặp của một toán tử.$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$