Tại sao giá trị p của Bayes liên quan đến các tham số ngoài dữ liệu?

Trên trang 146 của Phân tích dữ liệu Bayes của Gelman, Gelman thảo luận về giá trị p của Bayes như một cách để kiểm tra sự phù hợp của mô hình. Ý tưởng là so sánh dữ liệu quan sát ( ) với dữ liệu có thể được tạo bởi mô hình nếu chúng tôi sao chép thử nghiệm ( ). $y$ $y^{rep}$

Ông định nghĩa giá trị p của Bayes là

p_{B} = P r (T (y^{r e p}, θ) \geq T (y, θ) | y)

$p_B = Pr(T(y^{rep}, \theta) \geq T(y, \theta) | y)$

Tôi hoàn toàn không hiểu tại sao có ý nghĩa khi thống kê kiểm tra là một hàm của các tham số, . Thật vậy, nếu mục tiêu là "so sánh dữ liệu được quan sát với dữ liệu có thể được tạo bởi mô hình ", thì không nên so sánh nghiêm ngặt giữa và ? $\theta$ $y$ $y^{rep}$

Ví dụ, trên cùng một trang, Gelman cung cấp một ví dụ trong đó anh ta kiểm tra sự phù hợp của một mô hình bình thường. Thống kê kiểm tra là:

T (y, θ) = | y_{(61)} - θ | - | y_{(6)} - θ |

$T(y, \theta) = | y_{(61)} - \theta | - |y_{(6)} - \theta |$

trong đó là giá trị trung bình của mô hình bình thường. Thống kê kiểm tra này được thiết kế để bỏ qua mô hình phù hợp ở đuôi cực, vượt quá số liệu thống kê thứ 6 và 61. $\theta$

Tại sao chúng ta không sử dụng thống kê kiểm tra sau thay vào đó, hoàn toàn dựa vào dữ liệu?

T (y, θ) = | y_{(61)} - \bar{y} | - | y_{(6)} - \bar{y} |

$T(y, \theta) = | y_{(61)} - \bar y | - |y_{(6)} - \bar y |$

bayesian p-value goodness-of-fit

— Heisenberg
nguồn

Không có gì ngăn bạn sử dụng số liệu thống kê kiểm tra chỉ dựa trên dữ liệu sao chép.

Điểm trong ví dụ là mô hình giả định $y_i$ thường được phân phối xung quanh một giá trị trung bình $\theta$ không xung quanh $\overline{y}$ . Do đó, thống kê thử nghiệm được cung cấp trong Gelman et. al. kiểm tra một cái gì đó về giả định quy tắc trong khi nó không thực sự rõ ràng thống kê kiểm tra của bạn đang kiểm tra.

— jaradniemi
nguồn

Tôi đồng ý rằng việc sử dụng thống kê kiểm tra chỉ dựa trên dữ liệu sao chép là 100%. Câu hỏi là tại sao nó nên sử dụng số liệu thống kê kiểm tra liên quan đến các tham số mô hình? Về mặt khái niệm, có ý nghĩa rằng chúng tôi sử dụng mô hình để đưa ra một số dự đoán, sau đó so sánh các dự đoán đó với "sự thật mặt đất" được quan sát

T (y)

$T(y)$ . Nó không có nghĩa là so sánh có thể được thực hiện chống lại

T (y, θ)

$T(y, \theta)$ , liên quan đến cái gì

θ

$\theta$ , xuất phát từ mô hình mà chúng tôi muốn kiểm tra ở nơi đầu tiên. Nó dường như tròn với tôi.

— Heisenberg