Là tổng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên Cauchy độc lập Bình thường?

Theo Định lý giới hạn trung tâm, hàm mật độ xác suất của tổng của một biến ngẫu nhiên độc lập lớn có xu hướng Bình thường. Do đó, chúng ta có thể nói rằng tổng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên Cauchy độc lập cũng là Bình thường không?

Không.

Bạn đang thiếu một trong những giả định trung tâm của định lý giới hạn trung tâm:

... các biến ngẫu nhiên với phương sai hữu hạn ...

Phân phối Cauchy không có phương sai hữu hạn.

Phân phối Cauchy là một ví dụ về phân phối không có thời điểm trung bình, phương sai hoặc cao hơn được xác định.

Trong thực tế

$X_1, \ldots, X_n$$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Vì vậy, tình huống trong câu hỏi của bạn khá rõ ràng, bạn cứ tiếp tục lấy lại bản phân phối Cauchy.

Đây là khái niệm phân phối ổn định phải không?

$a X_1 + b X_2$

(*) Trích dẫn từ wikipedia.