Làm thế nào để thêm hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc?

Tôi biết, tôi không thể sử dụng tích chập. Tôi có hai biến ngẫu nhiên A và B và chúng phụ thuộc. Tôi cần chức năng phân phối của A + B

random-variable non-independent

— Mesko
nguồn

Nếu A và B phụ thuộc thì phân phối chung của A và B được yêu cầu để phân phối A + B.

— vinux

Tôi không hiểu câu hỏi của bạn. Bạn biết gì và tại sao bạn không thể sử dụng tích chập?

— Tây An

Tôi biết hàm phân phối của A và B. f A và B là hai biến ngẫu nhiên độc lập, liên tục, sau đó tôi có thể tìm phân phối của Z = A + B bằng cách lấy tích chập của f (A) và g (B): h ( z) = (f g) (z) = ∫∞ − f (A) g (z − B) dA Nhưng tôi có thể làm gì khi chúng không độc lập? Tôi xin lỗi, nếu đây là câu hỏi ngớ ngẩn.

— Mesko

Đó không phải là một câu hỏi ngớ ngẩn Mesko, nhưng những gì mọi người đang chỉ ra là nó cần thêm thông tin. Câu trả lời phụ thuộc vào cách

và

không thể độc lập. Một mô tả đầy đủ về điều đó được đưa ra bởi phân phối chung của

và

, đó là những gì vinux yêu cầu. Xi'an đang thăm dò tinh tế hơn một chút nhưng thực sự tìm kiếm cùng loại thông tin để giúp bạn tiến bộ.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Câu trả lời:

Như vinux chỉ ra, người ta cần phân phối chung của và , và không rõ ràng từ phản hồi của OP Mesko "Tôi biết chức năng phân phối của A và B" mà anh ta nói rằng anh ta biết $A$ $B$ phân phối chung của A và B: anh ta có thể cũng có thể nói rằng anh ta biết các phân phối biên của A và B. Tuy nhiên, giả sử rằng Mesko không biết phân phối chung, câu trả lời được đưa ra dưới đây.

Từ tích phân tích chập trong nhận xét của OP Mesko (sai, nhân tiện), có thể suy ra rằng Mesko quan tâm đến các biến ngẫu nhiên liên tục và liên tục với hàm mật độ xác suất chung . Trong trường hợp này, $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Khivàđộc lập, hàm mật độ khớp sẽ biến thành tích của hàm mật độ biên:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ và chúng ta có được công thức tích chập quen thuộc hơn cho các biến ngẫu nhiên độc lập. Một kết quả tương tự cũng áp dụng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc.

Mọi thứ phức tạp hơn nếu và không liên tục hoặc nếu một biến ngẫu nhiên liên tục và biến còn lại rời rạc. Tuy nhiên, trong mọi trường hợp, người ta có thể luôn luôn tìm ra hàm phân bố xác suất tích lũy của là tổng khối lượng xác suất trong khu vực của máy bay quy định như $A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ và tính hàm mật độ xác suất, hoặc hàm khối lượng xác suất, hoặc bất cứ thứ gì, từ hàm phân phối. Thật vậy, công thức trên có được bằng cách viết dưới dạng tích phân kép của hàm mật độ khớp trên vùng được chỉ định và sau đó "phân biệt dưới dấu tích phân. '' $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
nguồn

Điều này có liên quan đến nhận xét và trả lời của tôi về một câu hỏi khác liên quan đến phân phối chung vài ngày trước.

— Tây An

Trước đó, tôi không biết những gì tôi nói là đúng nhưng tôi đã bị mắc kẹt trong cùng một vấn đề và tôi đã cố gắng giải quyết nó theo cách này:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Bây giờ bạn có thể thực hiện tích phân mà không cần quan tâm đến giới hạn tích hợp.

Đây là sự xuất hiện của người sói trong doanh: A

Tính tích phân tôi có: B

Âm mưu: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R.Lac
nguồn

Câu hỏi dường như không đủ cụ thể về phân phối chung để có câu trả lời. Làm thế nào bạn đến với một.?

— Michael R. Chernick

+1 để giải quyết chính xác mẫu phản biện bị cáo buộc trong câu trả lời của @ cdlg và chỉ ra rằng các phép tính nếu được thực hiện đúng sẽ đưa ra câu trả lời đúng và không phải là kết quả sai trong câu trả lời của cdlg. Tôi không thể tin rằng câu trả lời đó đã nhận được hai lượt ủng hộ.

— Dilip Sarwate