Là tổng của một biến ngẫu nhiên và một biến ngẫu nhiên liên tục liên tục hoặc hỗn hợp?

Nếu $X$ là một biến rời rạc và là một biến ngẫu nhiên liên tục thì chúng ta có thể nói gì về sự phân bố của ? Là nó liên tục hay là hỗn hợp? $Y$ $X+Y$

Còn sản phẩm thì sao? $XY$

self-study distributions random-variable

— người dùng666
nguồn

Câu trả lời:

Giả sử giả sử các giá trị với phân phối rời rạc , trong đó là tập hợp đếm được và giả định các giá trị trong với mật độ và CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Hãy . Chúng ta có có thể được phân biệt để có được hàm mật độ cho được cung cấp bởi $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = = P (X + Y \leq z) = = \underset{k \in K}{Σ} P (Y \leq z - X | X = = k) P (X = = k) = = \underset{k \in K}{Σ} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = = \underset{k \in K}{Σ} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Bây giờ hãy để và giả sử . Khi đó một lần nữa có thể được phân biệt để có được hàm mật độ. $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = = P (X Y \leq r) = = \underset{k \in K}{Σ} P (Y \leq r / X) P (X = = k) = = \underset{k \in K}{Σ} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$

Tuy nhiên, nếu , thì , cho thấy trong trường hợp này có một nguyên tử ở 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— Joris Bierkens
nguồn

Đặt là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm khối xác suất , trong đó là một tập rời rạc (có thể là vô hạn). Biến ngẫu nhiên có thể được coi là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất sau $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

Trong đó là hàm delta Dirac. $\delta$

Nếu là biến ngẫu nhiên liên tục, thì là biến ngẫu nhiên lai . Như chúng ta đã biết các hàm mật độ xác suất của và , chúng ta có thể tính toán các hàm mật độ xác suất của . Giả sử rằng và là độc lập, các hàm mật độ xác suất của được cho bởi chập của hàm mật độ xác suất và $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = = \underset{x_{k} \in X}{Σ} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— Rodrigo de Azevedo
nguồn

Tại sao các downvote?

— Rodrigo de Azevedo

Vâng, tôi cũng tò mò về downvote

— Yair Daon

@Yair Tôi không đánh giá thấp nó, nhưng nó có vẻ như một câu trả lời sai lệch và không đầy đủ. Đơn giản chỉ cần viết một bản phân phối theo đồng bằng Dirac sẽ không liên tục! Câu trả lời này cũng bị giới hạn ở chỗ (a) nó không xem xét các phân phối rời rạc chung, có thể có vô số nguyên tử có thể đếm được và (b) nó mặc nhiên cho rằng và là độc lập.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber Tôi đồng ý với (b). Tuy nhiên, người ta nói rằng một RV rời rạc "có thể được coi là ...", vì vậy tôi nghĩ rằng nó bổ sung một cái nhìn thú vị.

— Yair Daon

Đây là lý do tại sao tôi viết rằng câu trả lời của bạn là sai lệch. Bởi vì câu hỏi liên quan đến sự phân biệt giữa các phân phối rời rạc và liên tục - và sự khác biệt đó là vấn đề định nghĩa toán học, không phải là "hương vị" - những nỗ lực của bạn để nhầm lẫn hai điều này có thể ít hữu ích hơn.

— whuber

$X$ $Y$

Chỉnh sửa: Tôi giả sử rằng "liên tục" có nghĩa là "có pdf." Nếu liên tục thay vì có nghĩa là không nguyên tử, bằng chứng là tương tự; chỉ cần thay thế "Lebesgue null set" bằng "singleton set" trong phần tiếp theo.

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = = \underset{k}{Σ} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = = x_{k}}) \leq \underset{k}{Σ} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— Mike tha thiết
nguồn