Làm thế nào là tối thiểu của một tập hợp các biến ngẫu nhiên được phân phối?

Nếu là các biến ngẫu nhiên phân phối nhận dạng độc lập, thì có thể nói gì về phân phối nói chung?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Nếu cdf của $X_i$ được ký hiệu là $F(x)$ , thì cdf của mức tối thiểu được cho bởi $1-[1-F(x)]^n$ .

Nếu CDF của $X_i$ được ký hiệu là $F(x)$ , thì CDF tối thiểu được cho bởi $1-[1-F(x)]^n$ .

Lý do: đưa ra $n$ biến ngẫu nhiên, xác suất $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ ngụ ý rằng ít nhất một $X_i$ nhỏ hơn $y$ .

Xác suất có ít nhất một $X_i$ nhỏ hơn $y$ tương đương với một trừ đi xác suất rằng tất cả $X_i$ đều lớn hơn $y$ , tức là $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ .

Nếu các được phân phối nhận dạng độc lập, thì xác suất tất cả lớn hơn là . Do đó, xác suất ban đầu là .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Ví dụ : giả sử , sau đó theo trực giác xác suất phải bằng 1 (vì giá trị tối thiểu sẽ luôn nhỏ hơn 1 kể từ cho tất cả ). Trong trường hợp này do đó xác suất luôn là 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman đã đưa ra câu trả lời chính xác dễ dàng cho một n cố định. Nếu bạn quan tâm đến hành vi tiệm cận cho n lớn, điều này được xử lý trong lĩnh vực lý thuyết giá trị cực đoan . Có một gia đình nhỏ có thể phân phối hạn chế; xem ví dụ các chương đầu tiên của cuốn sách này .

Tôi nghĩ rằng câu trả lời 1- (1-F (x)) ^ n là đúng trong trường hợp đặc biệt. Các trường hợp đặc biệt là điều kiện pmf của rv dựa trên công thức cho miền của rv Nếu nó khác nhau ở các phần khác nhau của công thức được đề cập ở trên làm lệch một chút so với kết quả mô phỏng thực tế.